WWW.LIBRUS.DOBROTA.BIZ
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - собрание публикаций
 


«Принято Согласовано решением методического объединения Зам. дир. по УВР учителей математики, информатики, физики протокол № от 27.08.2017 Евгещенкова И.А. 30.08. 2017г. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ...»

Муниципальное казенное образовательное учреждение Новосибирского района

Новосибирской области « Сосновская средняя школа №32»

Принято Согласовано

решением методического объединения Зам. дир. по УВР

учителей математики, информатики, физики

протокол № от 27.08.2017 Евгещенкова И.А .

30.08. 2017г .

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА

Элективного курса по математике «Практикум по решению геометрических задач»

со сроком обучения 2 года для 10 -11 классов на 2017-2018, 2018-2019 учебный год Введение Нормативные правовые документы, на основании которых разработана рабочая программа по элективному курсу «Практикум по геометрии» 10-11 классов:

-Федеральный закон от 29.12.2012 года № 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» .

-Федеральный компонент государственного стандарта среднего (полного) общего образования (приказ МО РФ от 05.03.2004 г. № 1089) «Об утверждении федерального компонента государственных стандартов начального общего, основного общего и среднего (полного) общего образования» .

-Приказ Министерства образования и науки РФ от 31 января 2012 г. № 69 «О внесении изменений в Федеральный компонент государственных образовательных стандартов начального общего, основного общего и среднего (полного) общего образования, утвержденный приказом Министерства образования РФ от 5 марта 2004 г. № 1089» .

-Приказ Министерства образования и науки РФ от 31.03. 2014 г. № 253 «Об утверждении федерального перечня учебников, рекомендуемых к использованию при реализации имеющих государственную аккредитацию образовательных программ начального общего, основного общего, среднего общего образования» .

-Приказ от 8 июня 2015 г. № 576 "О внесении изменений в федеральный перечень учебников, рекомендованных к использованию при реализации имеющих государственную аккредитацию образовательных программ начального и общего, основного общего, среднего общего образования, утвержденного приказом Министерства образования и науки Российской Федерации от 31 марта 2014 г. № 253 .

Программа элективного курса по математике предназначена для изучения в 10-11 классах и рассчитана на 36 часов в 10 классе и 34 часа в 11 классе .

Цели элективного курса:

1. Расширение и углубление знаний, полученных при изучении курса геометрии .

2. Знакомство учащихся с методами решения различных по формулировке нестандартных задач .

3. Развитие графической культуры учащихся, геометрического воображения и логического мышления;

4. Стимулирование познавательного интереса, развитие творческих способностей .

Задачи:

Повторить и обобщить знания по геометрии за курс основной общеобразовательной школы;

сформировать умения применять полученные знания при решении «нетипичных», нестандартных задач;

побуждать желание выдвигать гипотезы о неоднозначности решения и аргументировано доказывать их;

формировать навыки работы с дополнительной научной литературой и другими источниками информации;

расширить знания по отдельным темам курса геометрия 7-10 классов;

выработать умение пользоваться контрольно-измерительными материалами .

СОДЕРЖАНИЕ ПРОГРАММЫ

10 КЛАСС Тема 1. Введение (2 часа)

Методы решения геометрических задач. Три основных метода решения геометрических задач:





геометрический; алгебраический; комбинированный. Анализ и синтез. Метод восходящего анализа .

Дополнительные методы и приемы решения задач. Анализ условия задачи, анализ решения задачи

– этапы решения задачи. Решение задач .

Тема 2. Площади .

( 8 часов) Конструктивное и аксиоматическое определения понятия площади. Аксиомы площади .

Различные формулы площади треугольника; четырехугольников. Площадь произвольного четырехугольника .

Экстремальные свойства площади многоугольника .

Изучение «новых» формул площади треугольника, не входящих в программу школьного курса геометрии расширяет возможности учащихся в решении задач по теме.

В базовом курсе геометрии рассматривается в основном вычисление площадей двух видов выпуклых четырехугольников:

параллелограмма и трапеции. Здесь учащиеся знакомятся с аналогом формулы Герона:

S ( p a)( p b)( p c)( p d ) abcd cos2, где a, b, c, d - длины сторон, р – полупериметр, и – противолежащие углы четырехугольника. В случае если четырехугольник: 1) вписан в окружность (сумма противоположных углов вписанного в окружность четырехугольника равна 1800), формула приобретает вид: S ( p a)( p b)( p c)( p d ) ; 2) описан около окружности (сумма противоположных ;

сторон равна), то площадь такого четырехугольника равна: S abcd sin 2

3) вписан в окружность и описан около окружности одновременно: S abcd .

Задачи, связанные с трапецией, занимают особое место в школьном курсе геометрии. В элективном курсе учащиеся знакомятся с формулами площади трапеции через её вторую среднюю линию: S T3T4 AC sin, где - угол между второй средней линией T3T4 и диагональю AC трапеции ABCD; S T3T4 (h1 h2 ), где Т3Т4 – вторая средняя линия трапеции, а h1 и h2 - перпендикуляры, проведенные к ней из двух противоположных вершин трапеции .

В результате изучения материала учащиеся должны знать: аксиоматическое и конструктивное определения площади многоугольника; основные свойства (теоремы) вычисления площадей многоугольников; изученные формулы вычисления площадей различных многоугольников и их комбинаций с окружностью;

уметь: применять определение и формулы площади многоугольника при доказательстве теорем и решении задач; доказывать основные свойства вычисления площадей многоугольников .

Тема 3. Равновеликие и равносоставленные многоугольники .

(8 часов) Равносоставленные и равновеликие многоугольники. Теорема Бойяи-Гервина. Деление произвольного треугольника и произвольного четырехугольника на равновеликие части. Деление различных многоугольников на части в определенном отношении. Составление квадрата из различных многоугольников. Квадратура круга Центральным элементом является теорема о равновеликости равносоставленных фигур Бойяи-Гервина (доказанная независимо друг от друга в 30-е гг. XIX в.). Она представляет для учащихся ценность в познавательном, историческом и развивающем планах .

В основу теории положено важное свойство многоугольников, не имеющее аналога в трехмерном пространстве, равносоставленность равновеликих многоугольников. Задачи, связанные с преобразованием фигур, интересовали ученых в разные времена. В настоящее время они широко могут быть использованы в вопросах рационального использования различных материалов, например, раскроя тканей, кожи и т.д. В связи с этим отдельное место уделено способам деления прямыми треугольников и четырехугольников на равновеликие части, составление квадрата из различных многоугольников. Многие из предложенных способов широко применимы при решении задач на нахождение площадей фигур, имеют прикладной характер .

Задачи о спрямлении окружности и квадратуре круга пользовались исключительной известностью с древнейших времён и тысячелетиями привлекали к себе внимание математиков .

Они привели к изучению свойств числа, в частности, установлению в XVIII веке математиками Ламбертом и Лежандром его иррациональности и доказанную в 1889 г. Линдеманом его трансцендентности .

В результате учащиеся должны знать: понятия равновеликих и равносоставленных многоугольников; теоремы о равносоставленности треугольника и параллелограмма; о равновеликости двух треугольников с одинаковыми основаниями и равными высотами; БояйиГервина; способы деления треугольника на равновеликие части (медианой; прямой через произвольную точку стороны треугольника; прямой, параллельной или перпендикулярной данной стороне); деления треугольника на части в определённом отношении; деления выпуклого четырёхугольника на равновеликие части (прямой, проходящей через точку, лежащую на стороне;

прямой, проходящей через вершину); понятие спрямления окружности и квадратуры круга, приёмы Л .

Маскерони, А. Коханского, Г. Мюллера, Бинга. Учащиеся должны уметь: применять изученные понятия и теоремы при решении задач; использовать способы деления многоугольников на заданные части; составлять квадрат из различных многоугольников

Тема 4. Метод координат ( 2часа)Метод координат. Решение задач методом координат .

Тема 5. Окружность и круг (2 часа) Метрические соотношения между длинами хорд, отрезков касательных и секущих .

Свойства дуг и хорд. Свойства вписанных углов. Углы между хордами, касательными и секущими .

Четырехугольники, вписанные и описанные около окружности. Теорема Птолемея(Вокруг четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда произведение его диагоналей равно сумме произведений его противоположных сторон) .

Тема 6. Замечательные кривые в математике (6 часов) Кривые постоянной ширины .

Треугольник Рело. Циклоида. Задача таутохроне. Спираль Архимеда. Логарифмическая спираль. Теорема Паскаля. Теорема Брианшона. Лемниската Бернулли. Кривая дракона. Понятие о фрактальной геометрии. Кривые второго порядка. Решение задач .

Тема 7. Обобщающее повторение (4 часов) .

Решение задач по изученным темам ( площади, многоугольники, метод координат, окружность и круг, кривые второго порядка) .

Тема 8. Роль графического языка в передаче информации о предметном мире .

(3) Графическое представление информации в различных профессиях (модельер, экономист, менеджер, конструктор и др.). Эскиз как основа конструкторской разработки изделия .

Использование элементов начертательной геометрии в профессиональной деятельности (архитектура, машиностроение, коммуникационные сооружения, легкая промышленность, дизайн и др.) Аксонометрия, технический рисунок, перспектива - наглядные изображения изделий на плоскости. Развертка, как технологическая основа сложных архитектурных форм .

11 КЛАСС Тема 1. Методы построения сечения многогранников (5ч) Простейшие задачи на построение сечений параллелепипеда и тетраэдра. Аксиоматически метод (Метод следов. Метод внутреннего проектирования). Комбинированный метод (Метод параллельных прямых. Метод параллельного переноса секущей плоскости). Метод выносных чертежей (Метод разворота плоскостей) .

Тема2. Нахождение площади сечений в многогранниках ( 5ч) Площади многоугольников .

Признаки подобия треугольников. Ортогональное проектирование и его свойства. Теорема о площади ортогональной проекции многоугольника .

Тема 3. Нахождение расстояния и угла между скрещивающимися прямыми в многогранниках ( 1ч)

Четыре способа решения задач:

1. Нахождение длины общего перпендикуляра двух скрещивающихся прямых, то есть отрезка с концами на этих прямых и перпендикулярного обеим .

2. Нахождение расстояния от одной из скрещивающихся прямых до параллельной ей плоскости, проходящей через другую прямую .

3. Нахождение расстояния между двумя параллельными плоскостями, проходящими через заданные скрещивающиеся прямые .

4. Нахождение расстояния от точки, являющейся проекцией одной из скрещивающихся прямых на перпендикулярную ей плоскость, до проекции другой прямой на ту же самую плоскость Тема 4. Нахождение угла между плоскостями ( 1ч) Двугранный угол. Линейный угол двугранного угла. Многогранный угол. Зависимость между плоскими и двугранными углами многогранных углов .

Тема 5.Решение задач повышенной сложности ( 4ч) Отношение объемов частей многогранника .

Объемы многогранников. Решение задач по всем разделам курса, в которых используются геометрические конструкции из рассмотренных задач разделов 1-4, в которых: 1) построено не более двух сечений; 2) все части многогранника не равновелики; 3) из частей многогранника, хотя бы одна должна быть хорошо известным геометрическим телом .

Тема 6. Геометрия Лобачевского(3 ч) 5й постулат, угловой дефект .

Аксиомы Лобачевского. Математик Фаркашу Больяни .

Псевдосфера, прямые плоскости Лобачевского. Непротиворечивость, независимость .

Неевклидова плоскость Римана. Кривизна, угловой избыток, дефект .

Тема 7. Замечательные точки, прямые (3 ч .

) Замечательные точки. Ортоцентр. Центроид. Точки Жергонна и Нагеля. Теорема Чевы. Прямые чевианы. Теорема Менелая. Теорема Морлея. Трисектрисы углов. Задача Фаньяно. Точка Ферма— Торричелли Тема 8. Планиметрические задачи с неоднозначностью в условии (многовариантные задачи) Анализ содержания задачной базы школьных учебников по геометрии показывает, что многовариантных задач практически нет и они довольно непривычны для школьников .

Поэтому подобные задачи нужно решать, начав с достаточно простых и постепенно увеличивая их сложность .

Примеры многовариантных задач Многовариантность задачи как результат неоднозначности в задании взаимного расположения элементов фигуры Расположение точек на прямой Расположение точек вне прямой Выбор обозначений вершин многоугольника Выбор некоторого элемента фигуры Выбор плоской фигуры Многовариантность задачи как результат неоднозначности в задании взаимного расположения фигур взаимного расположения прямолинейных фигур;

взаимного расположения окружностей;

расположение точек касания окружности и прямой;

расположение центров окружностей относительно их общей точки касания;

расположение центров окружностей относительно общей хорды;

расположение центров окружностей относительно хорды большей окружности;

расположение центров окружностей относительно общей касательной;

Основные требования к знаниям и умениям учащихся .

Учащиеся должны знать:

ключевые теоремы и формулы курса планиметрии;

знать свойства геометрических фигур и уметь применять их при решении задач;

знать опорные задачи планиметрии: задачи – факты и задачи – методы;

Учащиеся должны уметь:

построить хороший, грамотный чертеж;

грамотно читать математический текст, правильно анализировать условие задачи;

выбирать наиболее рациональный метод решения и обосновывать его;

точно и грамотно формулировать теоретические положения и излагать собственные рассуждения в ходе решения заданий;

уверенно решать задачи на вычисление, доказательство и построение;

применять аппарат алгебры и тригонометрии к решению геометрических задач;

применять свойства геометрических преобразований к решению задач .

изображать на рисунках и чертежах пространственные геометрические фигуры и их комбинации, задаваемые условиями задач; выделять изученные фигуры на моделях и чертежах;

вычислять значения геометрических величин, используя изученные формулы, а также аппарат алгебры, анализа и тригонометрии;

применять основные методы геометрии (проектирования, преобразований) к решению геометрических задач .

–  –  –

Кривые второго порядка. Иметь представление о кривых второго порядка .

Решение задач на эллипс, гиперболу, параболу Уметь решать задачи на составление уравнения кривых Обобщающий урок по теме «Замечательные кривые» Уметь применять изученный материал при выполнении заданий Повторение темы «Площади и многоугольники» Знать: ключевые теоремы, формулы курса планиметрии

–  –  –

Методические рекомендации Знакомство учащихся с целями и задачами курса. На первом занятии учащимся предлагается ряд задач повышенной сложности, решение которых потребует от них знания многих тем элективного курса. Класс делится на группы, каждая группа получает задачу (Приложение 3) .

Защита задач проходит на последнем занятии. По желанию учащиеся могут приготовить реферат, проект, провести исследовательскую работу по данной теме (Приложение 4) .

Тема 1. Методы построения сечения многогранников Тема «Методы решения задач на построение сечений многогранников» предполагает изучение основных методов построения сечений .

На первом занятии этой темы следует решить простейшие задачи на построение сечений параллелепипеда и тетраэдра. При изучении темы можно использовать презентационный материал, который поможет учителю при организации учебно - воспитательного процесса, а ученикам – для визуализации результатов работы, развития пространственного мышления, привития устойчивого интереса к геометрии. На занятиях необходимо использовать устные задачи, для того, чтобы ученики могли научиться представлять всю стереометрическую конструкцию «в уме»

и устно выполнять необходимые расчеты. Устные задачи помогут учителю активизировать учебный процесс, и будут способствовать лучшему пониманию учебного материала школьниками .

Тема 2. Нахождение площади сечений в многогранниках .

На первом занятии по теме при решении задач используются основные формулы площадей многоугольников, изученные в курсе планиметрии .

При рассмотрении теоремы о площади ортогональной проекции многоугольника следует использовать «вставку прямоугольного треугольника»

между плоскостью сечения и плоскостью той грани призмы (как правило основания) на которую проецируется фигура в сечении, - причем со стороны острого угла между плоскостями .

Тема 3. Нахождение расстояния и угла между скрещивающимися прямыми в многогранниках Нахождение расстояния и угла между скрещивающимися прямыми в многогранниках традиционно считается трудной темой для учащихся .

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми можно рекомендовать рассмотрения 4-х основных способов решения задач .

1. Нахождение длины общего перпендикуляра двух скрещивающихся прямых, т.е. отрезка с концами на этих прямых и перпендикулярного им обеим .

Применение этого способа ограничено простыми примерами, так как в сложных задачах не только сложно определить местоположение их общего перпендикуляра, но и вычислить его длину .

2. Нахождение расстояния от одной скрещивающейся прямых до параллельной ей плоскости, проходящей через другую прямую .

3. Нахождение расстояния между двумя параллельными плоскостями, проходящими, через заданные скрещивающиеся прямые .

Данный способ применяется в сложных задачах в том случае, если когда есть возможность построения двух параллельных сечений, содержащих скрещивающиеся прямые .

4. Нахождение расстояния от точки, являющейся проекцией одной из скрещивающихся прямых на перпендикулярную ей плоскость, до проекции другой прямой на ту же самую плоскость. Применять этот способ при решении простых задач нет необходимости, так как первые три дают результат быстрее и проще. Для задач же средней и повышенной трудности данный способ можно считать основным (универсальным). Все четыре способа легко (устно) демонстрируются на простейшей модели, приведенной в задаче №1 (Приложение1. Тема 3) .

Тема 4. «Определение угла между плоскостями»

При изучении данной темы следует рассмотреть два способа построения и определения угла между плоскостями. 1–й классический, его иллюстрирует Задача № 228 из «Сборника задач по стереометрии» (автор Л.М. Лоповок). Второй способ «Метод введения прямоугольного треугольника» .

Тема 5. Решение задач повышенной сложности: Данные задачи представлены в Приложении и в учебном пособии Ю .

А, Глазкова, «Сборник заданий и методических рекомендаций ЕГЭ. Заключительное занятие проходит в виде защиты решенных задач, проектов, рефератов над которыми обучающие работы в течение семестра .

Тема 6. Геометрия Лобачевского Еще одна проблема ждала своего решения более двух тысячелетий .

Эта проблема доказательства пятого постулата Евклида, содержащегося в его знаменитых «Началах». «Началами» греки называли сочинения, в которых математика излагалась на аксиоматической основе, т.е. какие – то утверждения принимались за основные, а остальные выводились из них. Считается, что первые «Начала» написал в V в. До н. э. Гиппократ Хиосский. За ними последовали другие труды с таким же названием. Но ни один из них не сохранился до наших дней. Объясняется это тем, что в IV в. До н. э. появился грандиозный трактат Евклида, состоящий из 13 книг, содержащий все основные результаты древнегреческой математики .

Трактат был столь совершенным, что затмил собой все аналогичные работы предшествующих авторов. Все другие «Начала» перестали переписываться. И никто больше не решался (да и не было нужды) написать новую книгу на эту тему. «Начала» Евклида стали настольной книгой ученых всех времен и народов. Об их популярности говорит уже тот факт, что после появления книгопечатания они издавались более тысячи раз на всех наиболее распространенных языках нашей планеты. По количеству изданий они уступают только «Библии» .

До наших дней дошла легенда, повествующая о смелости Евклида и его твердом и независимом характере. Когда царь Птолемей познакомился с «Началами», он спросил автора: «Нет ли в геометрии более короткого пути?» На что Евклид ответил: «В геометрии нет царского пути!» эта фраза стала крылатой. Но об ученом в первую очередь говорят его работы. По «Началам» можно судить, что Евклид был не только хорошим математиком, но и замечательным педагогом .

Тема 7. Замечательные точки, прямые Занятие1 .

–  –  –

Рис.1 Точки Жергонна и Нагеля .

Три отрезка, соединяющие вершины треугольника с точками, в которых вписанная в него окружность касается соответственно противоположных вершинам сторон, пересекаются в одной точке J (рис.2). Она называется точкой Жергонна .

Отрезки, соединяющие каждую из вершин треугольника с точкой, в которой противоположная сторона касается соответствующей вневписанной окружности, тоже пересекаются в одной точке N— точке Нагеля. Она интересна тем, что отрезок NI, где I — центр вписанной окружности, проходит через центроид М треугольника и делится им в отношении NM : МI= 2:1 (рис. 2) .

Рис 2 Рис 3

Рис.4

Сообщение учащихся об ученых .

Леонард Эйлер сделал целый ряд замечательных открытий в геометрии треугольника. Например, он доказал, что центроид М любого треугольника лежит на отрезке между центром О его описанной окружности и ортоцентром Н и делит этот отрезок в отношении ОМ : МН = 1: 2 .

Прямая ОН называется прямой Эйлера данного треугольника (рис.3) .

Занятие 2 Цели: знакомство с новым понятием прямыми- чевианами, трисектрисы, раскрыть тайну применения теорем к биссектрисам внутренних и внешних углов треугольника.. Развивать графические способности учащихся Теорема Чевы .

После такого изобилия теорем о трёх прямых, проходящих через одну точку возникает вопрос: нет ли какого-то общего способа доказывать аналогичные утверждения? Такой способ действительно есть. Его нашёл итальянский геометр и механик Джованни Чева, Выберем на сторонах ВС, СА и АВ треутольника АВС точки А1, В1 и С1 и соединим их прямыми с противоположными вершинами. Такие прямые называют прямыми Чевы или чевианами. Теорема Чевы гласит (рис.

4, а):

Если три чевианы пересекаются в одной точке, то отношения, в которых их основания А 1, В1 и С1 делят стороны треугольника, удовлетворяют равенству ВА1/А1С *СВ1/В1А*АС1 /С1В=1 (*) Данное соотношение будет выполняться и тогда, когда точка пересечения прямых лежит вне треугольника или все они параллельны. При этом две из трёх точек А1, В1 и С1 находятся на продолжениях сторон треугольника (рис. 4, 6, в). В таком случае говорят, что основания чевиан делят эти стороны в соответствующих отношениях внешним образом.

Справедлива и обратная теорема:

Если точки А1, В1 и С1 на прямых, ограничивающих треугольник АВС, удовлетворяют условию Чевы, причём собственно на его сторонах лежат все три либо ровно одна из них, то соответствующие чевианы пересекаются в одной точке или параллельны .

Из этой теоремы можно вывести все приведённые выше утверждения о пересечении трёх прямых в треугольнике .

Сообщение учащихся об ученых Теорема Менелая .

При обсуждении теоремы Чевы на сторонах треугольника лежат либо все три основания чевиан, либо только одно из них. Без этой оговорки можно попасть в условия другой классической теоремы, носящей имя древнегреческого математика и астронома Менелая Александрийского (I‘—II вв.): Если стороны ВС, СА и АВ треугольника АВС или их продолжения пересекаются некоторой прямой в точках А1, В1 и С1 соответственно, то выполняется соотношение (*) (рис. 4, г) .

Обратная теорема также справедлива. при этом ровно одна либо все три точки лежат на продолжениях сторон треугольника .

Для примера применим теоремы Чевы и Менелая к биссектрисам внутренних и внешних углов треугольника. Согласно известному свойству, биссектриса АD треугольника АВС делит сторону ВС на части, пропорциональные прилежащим к ним сторонам: ВD/DС = ВА/АС. Тоже верно и для биссектрисы АЕ (рис. 4, д): ВЕ/ЕС = = ВА/АС. Подставляя эти равенства для соответствующих биссектрис в теорему Чевы, получим уже знакомую нам теорему о том, что три внутренние или одна внутренняя и две внешние биссектрисы (т. е. биссектрисы внешних углов) пересекаются в одной точке. А из теоремы Менелая аналогично вытекает, что основания одной внешней и двух внутренних биссектрис, проведённых из разных вершин, лежат на одной прямой .

Теорема Морлея .

Эта красивая теорема была сформулирована в конце ХIХ столетия американцем Фрэнком Морлеем .

Проведём трисектрисы углов треугольника — прямые, которые делят углы на три равные части. Отметим точки пересечения пар трисектрис, прилежащих к каждой из сторон треугольника (рис.5). Отмеченные точки будут вершинами правильного треугольника .

Рис5 Рис.6 Рис.7 Воистину геометрия треугольника неисчерпаема, если такая жемчужина могла сохраниться незамеченной на протяжении более чем двух тысячелетий!

Занятие 3 Цели: Рассмотреть секреты магии решения задач Фаньяно и Ферма—Торричелли, используя не геометрические методы .

Неравенство треугольника. Это неравенство утверждает, что каждая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон. При составлении современных курсов геометрии неравенство треугольника часто включается в систему аксиом, т. е. принимается без доказательства, хотя в Началах Евклида это теорема. В качестве аксиомы оно включается в список основных свойств расстояний: расстояние между двумя точками не больше суммы расстояний от них до любой третьей точки .

Из неравенства треугольника следует, что отрезок является кратчайшей из линий, соединяющих две точки. Именно это свойство используется при решении двух классических экстремальных задач из геометрии треугольника .

Задача Фаньяно. Требуется вписать треугольник минимального периметра в данный остроугольный треугольник. Эта задача называется задачей Фаньяно — по имени итальянского математика, опубликовавшего в 1755 г. её аналитическое решение. Искомым треугольником всегда будет ортотреугольник(рис.6) .

Этот результат можно пояснить с помощью законов физики. Вспомним, что высоты треугольника являются биссектрисами ортотреугольника .

Иначе говоря, любые две стороны ортотреугольника образуют равные углы со стороной исходного треугольника, проходящей через их общую вершину. Поэтому луч света (или бильярдный шар), пущенный вдоль стороны ортотреугольника, отражает от сторон«большого» треугольника в соответствии с законом «угол падения равен углу отражения», будет раз за разом обегать ортотреугольник по периметру, т. е. периметр ортотреугольника и есть траектория такого луча, а свет, как известно, распространяется по кратчайшему пути .

Имеется ещё одна, «механическая, интерпретация задачи Фаньяно. Пусть треугольник сделан из проволоки, причём на каждую его сторону надето маленькое кольцо. Через кольца продета натянутая нить с пружинками (рис.7). Какое положение она займёт, когда сожмется максимально, если считать, что в системе нет трения? Конечно, то положение, при котором её длина минимальна. Учитывая, что сумма сил, действующих на каждое кольцо в окончательном положении нити, равна нулю, нетрудно вычислить, что отрезки нити будут составлять равные углы с соответствующими сторонами треугольника, откуда и следует, что нить образует ортотреугольник .

Конечно, такого рода рассуждения не могут служить геометрическими доказательствами, но они порой подсказывают решение задачи .

Задача Ферма—Торричелли .

Эта точка в треугольнике связана с именами сразу трёх выдающихся учёных прошлого. Впервые о ней говорилось в работах французского математика Пьера Ферма, который решал задачу о местоположении в треугольнике АВС такой точки Е, что сумма FА +F В + FС её расстояний до вершин была бы минимальной .

швейцарский геометр Якоб Штейнер рассматривал ту же проблему в несколько более общем виде: он пытался найти кратчайшую сеть дорог, соединяющих три пункта. Оказывается, что такая сеть всё равно должна состоять из трёх сходящихся в одной точке прямолинейных дорог, причём одна из этих дорог может сжаться в точку (как и в задаче Ферма). В такой формулировке, но уже для произвольного числа пунктов, задача приобретает и чисто практическое значение. Например, её приходится решать при прокладке кабельных сетей .

Разработано несколько алгоритмов построения кратчайших сетей для данного расположения соединяемых пунктов. Но эта задача имеет неприятную особенность: с увеличением числа пунктов чрезвычайно быстро возрастает количество операций, выполняемых компьютером при её решении, — как показательная функция от числа пунктов. В итоге даже на сверх мощных компьютерах за приемлемое время удаётся решить задачу только для двух-трёх десятков точек. Чтобы улучшить имеющиеся алгоритмы, математики и сегодня продолжают исследовать структуру кратчайших сетей .

Физическую модель для решения классической задачи Ферма можно сделать так: нарисуем треугольник на какой-нибудь доске, вобьём гвоздики в его вершинах, перекинем через каждый гвоздик нить с одинаковым грузом на конце и, наконец, свяжем свободные концы нитей в один узел .

–  –  –

Тема 8. Планиметрические задачи с неоднозначностью в условии (многовариантные задачи) Анализ содержания задачной базы школьных учебников по геометрии показывает, что многовариантных задач практически нет и они довольно непривычны для школьников .

Поэтому подобные задачи нужно решать, начав с достаточно простых и постепенно увеличивая их сложность .

Многовариантность задачи как результат неоднозначности в задании взаимного расположения элементов фигуры

1. Расположение точек на прямой В данном пункте рассмотрим расположение точек на одной прямой или на двух прямых .

Пример. На прямой взяты точки A, B и C так, что расстояние между точками A и B равно 5, а между B и C равно 3. Найти расстояние между точками A и C .

Комментарий. Неоднозначность формулировки состоит в том, что в условии не указано взаимное расположение точек A, B и C на прямой относительно друг друга. Можно записать шесть различных вариантов расположения этих точек: A, B, C или C, B, A; A, C, B или B, C, A ; C, A, B или B, A, C. Ответ: 8 или 2 .

Расположение точек вне прямой В данном пункте рассмотрим примеры расположения прямой и точки; примеры расположения двух точек по одну сторону от прямой или по разные; примеры взаимного расположения одной или нескольких точек и двух параллельных прямых. При этом точки могут располагаться в одной или разных полуплоскостях и связанны некоторым условием (например, принадлежат одной окружности, лежат на одном перпендикуляре и т.д.) .

Пример. Окружность радиуса 2 касается стороны AC прямоугольного треугольника ABC в точке C. Найти расстояние от вершины B до центра окружности, если катеты треугольника AB и AC равны 5 и 4 соответственно .

Комментарий. В данном примере возможно два варианта рисунков, удовлетворяющих условию задачи, так как центр окружности может лежать выше или ниже прямой AC. Дальше, используя теорему Пифагора, нетрудно получить ответ. Ответ: 5 или корень из65

2. Выбор обозначений вершин многоугольника К задачам этого типа относят такие задачи, условие которых допускает различные решения в зависимости от варианта буквенного обозначения вершин многоугольника .

В качестве подготовительной задачи можно предложить следующую. В параллелограмме ABCD один из углов равен 60. Точки E и F являются се рединами смежных сторон, образующих острый угол. Площадь треугольника, отсекаемого прямой EF от параллелограмма ABCD, равна S .

Найти площадь треугольника, вершинами которого служат точки E, F и C .

Комментарий. При решении данной задачи необходимо рассмотреть четыре случая. Ответ: S или 3S Выбор некоторого элемента фигуры К задачам этого типа относят такие задачи, в условии которых дана числовая величина элемента фигуры, но не указано какого конкретно из имеющихся. В случае линейного элемента это может быть, например, сторона многоугольника или длина отрезка перпендикуляра, опущенного на сторону фигуры, и т.д. В случае углового элемента это может быть, например, какой-то из углов фигуры .

Пример. Площадь треугольника ABC равна 8. MN – средняя линия. Найти площадь треугольника CMN .

Комментарий. При решении данной задачи неоднозначность состоит в выборе средней линии. Необходимо рассмотреть три случая, даже если они приводят к одному ответу. Ответ: 2 .

3. Выбор плоской фигуры Задачи данного пункта могут быть связаны с неопределенностью выбора отношения площадей фигур, выбором подобных треугольников и т.д .

Пример. Основания трапеции равны a и b. Прямая, параллельная основаниям, разбивает трапецию на две трапеции, площади которых относятся как 2 : 3. Найти длину отрезка этой прямой, заключенного внутри трапеции .

4. Многовариантность задачи как результат неоднозначности в задании взаимного расположения фигур При решении задач условие может трактоваться неоднозначно, если для рассматриваемых фигур не указано их взаимное расположение. Можно выделить, например, следующие случаи, приводящие к неоднозначной трактовке условия задачи и касающиеся:

взаимного расположения прямолинейных фигур;

взаимного расположения окружностей Взаимное расположение окружностей можно различать по внешнему признаку (касающиеся, пересекающиеся, непересекающиеся) или по внутреннему признаку (взаимное расположение центров окружностей относительно общей касательной, общей хорды и т.д.). Полезно рассмотреть взаимное расположение окружностей с помощью динамической геометрической программы(например, «Живая Геометрия»): двух окружностей, двух окружностей с общей касательной, двух окружностей с общей хордой. При перемещении одной окружности относительно другой видно наличие общих точек (одна, две, ни одной), возможные варианты касания окружностей (внешнее, внутреннее), варианты касательных (внешние, внутренние), расположение центров касательных относительно общей хорды, общей касательной .

расположение центров окружностей относительно общей касательной .

В условии задач этого типа фигурируют две окружности, касающиеся одной прямой, но не указано расположение центров этих окружностей относительно этой прямой. Соответственно эта прямая является внутренней или внешней касательной для этих окружностей .

расположение центров окружностей относительно их общей точки касания В условии задач этого типа фигурируют две окружности, но не указан тип касания (внешний или внутренний) расположение центров окружностей относительно общей хорды В условии задач этого типа фигурируют две пересекающиеся окружности, но не указано расположение центров окружностей относительно их общей хорды расположение центров окружностей относительно хорды большей окружности В условии задач следующего типа фигурируют две окружности, одна из которых расположена внутри другой и касается хорды окружности большего радиуса расположение точек касания окружности и прямой Перед решением задач этого типа полезно еще раз вспомнить следующую опорную задачу: отрезок общей внешней касательной к двум касающимся окружностям радиусов r и R равен 2rR

Список литературы:

10 КЛАСС

1. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. Геометрия 7-9 классы. М.,Просвещение,2009

2. Берман Г. Н. Циклоида. М.: Наука, 1980

3. Болтянский В. Г., И. М. Яглом. Выпуклые фигуры. М.—Л.: ГТТИ, 1951. — 343 с .

4. Габович И.Г. Алгоритмический подход к решению геометрических задач. – М.: Просвещение, 1996 .

5. Геометрия: учеб. Для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровень) / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б .

Кадомцев, Л.С. Киселева, Э.Г. Позняк – М.:Просвещение, 2010 .

6. Геометрия. 7-9 классы: учеб. для общеобразовательных учреждений / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцеви др. – М.: Просвещение, 2009Гусев В.А. и др. Практикум по решению математических задач. – М.: Просвещение, 1985 .

7. Гиндикин С. Г. Рассказы о физиках и математиках. М.: МЦНМО, 2006 .

8. ЕГЭ: 3000 задач с ответами по математике/ А.Л. Семёнова, И.В. Ященко – М.:»Экзамен», 2011

9. Маркушевич А.И., Замечательные кривые, М., 1978 г., 48 стр. с илл.Пиголкина Т.С. Математическая энциклопедия абитуриента. – М.: изд .

Российского открытого университета, 1992

10. Радемахер Г., О. Теплиц. Числа и фигуры. М.: Физматгиз, 1962. — 263 с .

11. Сборник конкурсных задач по математике для поступающих во ВТУЗы. Под ред. М.И. Сканави. Учеб. пособие. – С.-Петербург, 1994 .

12. Сканави М.И. Сборник задач по математике. Москва «ОНИКС 21 век» «Мир и образование» «Альянс – В» 2003 .

ЭОР

1. Вся элементарная математика http://www.bymath.net/index

2. Определения математических терминов http://ru.wikipedia.org/wiki

3. Открытая база данных ЕГЭ-2013 mathege.ru

4. http://xreferat.ru/54/2091-2-zamechatel-nye-krivye-v-matematike.html

5. http://mathi.ru/2011/12/zamechatelnye-krivye/

6. http://netnotes.narod.ru/math/dragon.html 11 КЛАСС Тема 1-7

1.Васильев Н.Б, В.Л.Гутенмахер. Прямые и кривые.М,Наука,1978

2.Глазков, Ю.А.Сборник заданий и методических рекомендаций ЕГЭ. /Ю.А, Глазков, М.: Просвещение, 2010., 125с

3.Зив, Б.Г. Стереометрия. Устные задачи./ СПб.: ЧеРо-на-Неве, 2002г. 87с

4.Корнеева, А.О. Геометрические построения в курсе средней школы. / А.О. Корнеева. Саратов.Лицей, 2003г. 75с .

5.Костицын, В.Н. Моделирование на уроках геометрии/ В.Н. Кострицын, М.: ВЛАДОС, 2000г, 107с. .

6.Литвиненко, В.Н. Задачи на развитие пространственных представлений/ В.Н. Литвиненко, М.: Просвещение, 1991г.,223с .

7.Лоповок, Л.М. Сборник задач по стереометрии/ Л.М, Лоповок, Л.М. М.: Просвещение, 1990г., 122с

8.Маркушевич А.И. Замечательные кривые. М., Гос. издательство литературы 1952

9.Математика 1998 № 35. Л.Силаев. Метод сечений в стереометрии .

10. Энциклопедия для детей.Т.11.Математика. Ред.коллегия:М.Аксенова, В.Володин и др.-М.: Аванта 2005.-688с.ил 11. №41 год1997 газета МАТЕМАТИКА автор Е.Смирнова Тема 8

1. Готман Э.Г. Задачи по планиметрии и методы их решения: Пособие для учащихся. – М.: Просвещение: АО «Учеб.лит.», 1996. – 240 с .

2. Корянов А.Г. Математика. ЕГЭ 2010. Задания типа С4. Многовариантные задачи по планиметрии. http://www.alexlarin.net.ru/ege/2010/C4agk.pdf

3. Корянов А.Г., Прокофьев А.А. МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011 (типовые задания С4). Планиметрические задачи с неоднозначностью в условии (многовариантные задачи). 39 стр.http://www.alexlarin.net/ege/2011/C4-2011.pdf

4. Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Материалы курса «Готовим к ЕГЭ хорошистов и отличников»: лекции 5–8. – М. :Педагогический университет «Первое сентября», 2012. – 100 с.http://edu.1september.ru/courses/11/010/02.pdf

5. Панферов В.С., Сергеев И.Н. Отличник ЕГЭ. Математика. Решение сложных задач; ФИПИ – М.: ИнтеллектЦентр, 2010 .

6. Полонский В.Б., Рабинович Е.М.,Якир М.С. Учимся решать задачи по геометрии. Учеб.-метод. пособие. – К. «Магистр», 1996, – 256 стр. (глава IV «Многовариантные задачи») .

7. Прокофьев А.А. Пособие по геометрии для подготовительных курсов (планиметрия). – 4-е изд. перераб. и доп.– М.: МИЭТ, 2007, 232 стр .

8. Цукарь А.Я. О полезности интерпретации решения задачи // Математика в школе, №7, 2000, с. 34-37 .

9. Шарыгин И.Ф. Сборник задач по геометрии. 5000 задач с ответами / И.Ф.Шарыгин, Р.К. Гордин. – М.: ООО «Издательство Астрель»: ООО «Издательство АСТ», 2001. – 400 с.: ил .

10. www.alexlarin.net – сайт по оказанию информационной поддержки студентам и абитуриентам при подготовке к ЕГЭ, поступлению в ВУЗы и изучении различных разделов

11. http://eek.diary.ru/ – сайт по оказанию помощи абитуриентам, студентам, учителям по математике .

12. Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Планиметрические задачи с неоднозначностью в условии (многовариантные задачи) 09.03.2012 .

www.alexlarin.net ПРИЛОЖЕНИЕ 1 Дидактический материал для проведения занятий по элективному курсу Тема 1. Методы построения сечения многогранников Метод следов

1. На ребрах ВВ1, СС1 и ДД1 призмы АВСДА1В1С1Д1 заданы соответственно точки Р, Q и R построить основной след секущей плоскости PQR

2. На ребре МС пирамиды МАВСД задана точка Р, в грани МАВ- точка Q, а внутри пирамиды, в плоскости МВД- точка R. Построить основной след секущей плоскости РRQ .

3. На грани СС1Д1Д призмы АВСД А1В1С1Д1 задана точка Р, а на ее ребрах АА1 и В1С1 соответственно точки Q и R Построить сечение призмы плоскостью РRQ .

4. На ребре МС пирамиды МАВСД задана точка Р, в гранях МАД и МАВ заданы соответственно точки Q и R. Построить сечение плоскостью Р R Q .

Геометрический метод

1. Высота правильной призмы АВСД А1В1С1Д1 в два раза меньше диагонали основания. Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точку В, перпендикулярно прямой В1О, где О- точка пересечения диагоналей основания .

2. Высота правильной призмы АВСД А1В1С1Д1 в два раза меньше диагонали основания. Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точку Е, середину ребра АВ, перпендикулярно прямой В1О .

Метод вспомогательных сечений .

1. На грани СС1Д1Д призмы АВСД А1В1С1Д1 задана точка Р, а на ее ребрах АА1 и В1С1 соответственно точки Q и R Построить сечение призмы плоскостью РRQ методом вспомогательных сечений .

2. На ребре МС пирамиды МАВСД задана точка Р, в гранях МАД и МАВ заданы соответственно точки Q и R. Построить сечение плоскостью Р R Q методом вспомогательных сечений .

Комбинированный метод

1.На ребрах АА1, СС1, ДД1 параллелепипеда АВСД А!В1С1Д1 заданы соответственно точки Р, Q, R, а на ребре ВВ1 задана точка К. Построить сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку К параллельно плоскости РRQ .

2.На ребрах ВС, СД, СС1 параллелепипеда АВСД А!В1С1Д1 заданы соответственно точки Р, Q, R, а на ребре АА1 задана точка К. Построить сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку К параллельно плоскости РRQ .

3.На ребре СС1 призмы АВСД А!В1С1Д1 задана точка Р. Построить прямую, проходящую через точку А параллельно прямой ДР .

4.На ребрах СС1, ВС1 призмы АВСД А!В1С1Д1 заданы соответственно точки Р, Q Построить сечение призмы плоскостью РRQ, проходящей через точку ВА параллельно прямым ДР и СQ .

5.На ребре СС1 призмы АВСД А!В1С1Д1 задана точка Р. Построить сечение призмы плоскостью. Проходящей через точку А, параллельно прямым ДР и В1Д1 .

Тема 2. Нахождение площади сечений в многогранниках .

1. Найти площадь сечения куба ABCDA1B1C1D1 с ребром а плоскостью, проходящей через вершину D и точки E и F на ребрах A1D1 и C1D1 соответственно, если A1E = k•D1E и C1F = k•D1F .

2. Найти площадь сечения куба ABCDA1B1C1D1 с ребром а плоскостью, проходящей через вершины C1 и D и точку E на ребре A1D1, если A1E = k•D1E .

3.Найти площадь сечения куба ABCDA1B1C1D1 с ребром а плоскостью, проходящей через вершину D и точки E и F на ребрах A1D1 и D1C1 соответственно, если D1E = k•A1E и C1F = k•D1F .

4.Найти площадь сечения куба ABCDA1B1C1D1 с ребром а плоскостью, проходящей через вершины A1 и C1 и точку F на ребре AD, если AF = k•DF .

5. Найти площадь сечения правильной четырехугольной пирамиды ABCDM с ребрами а (половинка октаэдра) плоскостью, проходящей через сторону основания AD и точку E на боковом ребре MC, если CE = k•ME .

Найти площадь сечения правильного тетраэдра ABCM с ребром а плоскостью, проходящей через точки D, E и F на ребрах MA, MB и BC соответственно, если MD : AD = ME : BE = BF : CF = k .

1.Найти площадь сечения правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 плоскостью, проходящей через сторону основания A1B1 и точку D на стороне BC другого основания, если CD = k•BD, сторона основания призмы равна а и высота H = na .

2. Найти площадь сечения куба ABCDA1B1C1D1 с ребром а плоскостью, проходящей через вершину C1 и середины ребер A1D1 и CD .

3.Найти площадь сечения куба ABCDA1B1C1D1 с ребром а плоскостью, проходящей через вершины B1 и D и середину ребра CC1 .

4. Найти площадь сечения куба ABCDA1B1C1D1 с ребром а плоскостью, проходящей через вершины B1 и D и точку M на ребре CC1, если C1M = 2•CM .

5. Найти площадь сечения куба ABCDA1B1C1D1 с ребром а плоскостью, проходящей через вершину B1 и середины ребер AD и CD .

6. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 со стороной основания а и высотой H=na найти площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через вершину C и середины ребер AA1 и A1B1 .

7. Найти площадь сечения куба АВСДА1В1С1Д1 с ребром а плоскостью, проходящей через середину ребер АД и СД и точку В2 на ребре ВВ1 при условии ВВ2=k*В1В2 .

8. Найти площадь сечения правильной четырехугольной призмы АВСДА1В1С1Д1 со стороной основания а и высотой Н=па плоскостью, проходящей через вершину В1 и середины ребер АД и СД .

9. Найти площадь сечения правильной шестиугольной призмы АВСДЕF А1В1С1Д1F1 со стороной основания а и высотой Н=кА плоскостью, проходящей через середины ребер В1С1, ДЕ и ЕF .

10. Найти площадь сечения правильной четырехугольной призмы АВСДА1В1С1Д1 со стороной основания а и высотой Н=па плоскостью, проходящей через вершину В1 и середины ребра СД и точку F ребра АД при условии ДF=2*АF Тема 3. Нахождение расстояния и угла между скрещивающимися прямыми в многогранниках

1. В кубе с ребром а найти расстояние и угол между любым ребром и диагональю не пересекающей его рани .

2. В кубе с ребром а найти расстояние и угол между непересекающимися диагоналями двух смежных граней .

3. В кубе АВСДА1В1С1Д1 с ребром а найти расстояние и угол между прямыми АС и В1 F при условии, что F принадлежит ДД1 и Д F=к*Д1 F .

4. В правильной четырехугольной пирамиде АВСДМ со стороной основания а и боковым ребром L=ka найти расстояние и угол между:1) боковым ребром и не пересекающейся с ним диагональю основания;

2) апофемой и не пересекающейся с ней стороной основания .

5. В правильной усеченной четырехугольной пирамиде со сторонами оснований а и в и высотой Н найти расстояние и угол между главной диагональю и не пересекающейся с ней диагональю большего основания .

6. В правильной четырехугольной пирамиде со стороной основания а и боковым ребром L =кА найти расстояние и угол между апофемой и диагональю основания .

7. В правильной шестиугольной пирамиде со стороной основания а и боковым ребром L = кА найти расстояние и угол между:

1) боковым ребром и не пересекающейся с ним стороной основания;

2) боковым ребром и непересекающейся с ним диагональю основания .

8. В правильной треугольной призме высотой Н=кА найти расстояние и угол между диагональю боковой грани и непересекающейся с ней стороной основания а .

Контрольная работа (для проведения итогового зачета по курсу) ВАРИАНТ 1 ВАРИАНТ 2

–  –  –

Тема 4. «Определение угла между плоскостями»

1.В кубе АВСД А1В1С1Д1 определить угол между плоскостями сечений АВ1С1Д и СВ1А1Д .

2.В прямоугольном параллелепипеде с размерами а, в Н определить угол между секущими плоскостями, проходящими через главную диагональ и соответственно через стороны основания а и в .

3.В кубе АВСДА1В1С1Д1 определить угол между диагональной плоскостью ВВ1Д1Д и плоскостью сечения, проходящей через вершины А1,С и точку F на ребре ДД1 при условии Д1 F= кД F .

4.В кубе АВСДА1В1С1Д1 определить угол, образованный плоскостями сечений АВ1С и АFС при условии, что F лежит на ДД1 и ДF=кД1F

5.В правильной четырехугольной пирамиде АВСДМ, все ребра которой равны, определить угол, образованный плоскостью проходящей через боковое ребро ВМ и высоту пирамиды МО, и плоскостью, проходящей через то же боковое ребро и точку З принадлежащую АД при условии ДР = к АР Тема 5. Решение задач повышенной сложности Тема 2. Задачи № 1, 2, 4, 7.Тема 4. задачи № 2, 3, 4. В данных задачах выделить дополнительный вопрос Найти отношение объемов частей куба (или в каком отношении объем куба делится указанным сечением) .

Задачи из сборника Глазков, Ю.А.Сборник заданий и методических рекомендаций ЕГЭ. /Ю.А, Глазков, М.: Просвещение, 2010., 125с ПРИЛОЖЕНИЕ 3 Задачи для решения в группе .

Группа 1 Найдите площадь сечения куба АВСД А1В1С1Д1 с ребром а плоскостью, проходящей через точки ЕFМ соответственно на ребрах А1В1,АД и СД при условииА1Е:В1Е=АF:ДF=СМ:ДМ=к Группа 2 Найдите площадь сечения правильной шестиугольной призмы АВСДЕFА1В1С1Д1Е1F1 со стороной основания а и высотой Н=кА плоскостью, проходящей через середины ребер В1С1, ДЕ и ЕF Группа 3 В правильной треугольной призме высотой Н=ка найти расстояние и угол между диагональю боковой грани и не пересекающейся с ней стороной основания а .

Группа 4 В правильной усеченной четырех угольной пирамиде со сторонами оснований а и в и высотой Н найти расстояние и угол между главной диагональю и не пересекающейся с ней диагональю большего основания .

Группа 5 Найти площадь сечения куба АВСД А1В1С1Д1 с ребром а плоскостью, проходящей через вершину В1 и середину ребер АД и СД .

ПРИЛОЖЕНИЕ 4 Темы исследовательских работ .

1.Метод следов построения сечений

2.Метод внутренних проекций

3.Метод дополнения п-угольной призмы (пирамиды) до треугольной призмы (пирамиды)

4.Метод деления п - угольной призмы (пирамиды) на треугольные призмы (пирамиды)

5.Метод параллельных прямых

6.Анализ задач по теме «Нахождение углов между плоскостями» в КИМах по математике




Похожие работы:

«ПРОТОКОЛ З~ 25 очередного Общего собрания членов Ассоциации саморегулируемой организации "Объединение проектировщиков объектов топливно-энергетического комплекса "Нефтегазпроект-Альянс" (далее Собрание) Полное наименование: Ассоциация саморегулируемая организация "Объ...»

«ул Заводской проезд д г Каменск Уральский Свердловская обл Россия Телефон ПУБЛИЧНОЕ АКЦИОНЕРНОЕ ОБЩЕСТВО Факс СИНАРСКИЙ ТРУБНЫЙ ЗАВОД УТВЕРЖДЕН Советом директоров ПАО "СинТЗ" протокол № 29 от " 14 " апреля 2017 г. П...»

«11.11.2016 – 17.11.2016, № 42 КОМПЕТЕНТНОЕ МНЕНИЕ Главная статья Уголовные производства по делам об уклонении от уплаты налогов Компетентное мнение Коррупционные правонарушения Легализация (отмывание) доходов, полученных преступным путем: сравнение иностранного и национального регулирования Уголовная...»

«[неофициальный перевод] * Свидетели Иеговы в Москве против России (Jehovah's Witnesses of Moscow v. Russia) (N 302/02) По материалам Постановления Европейского Суда по правам человека от 10 июня 2010...»

«АДМИНИСТРАЦИЯ ГОРОДА ЮЖНО-САХАЛИНСКА ПОСТАНОВЛЕНИЕ от 14.08.2019 № 2393 Об итогах конкурса социальных проектов "Лучший проект на проведение мероприятий по благоустройству территорий территориального общественного самоуправления городского округа "Город Южно-Сахалинск" на соискание муниципального гранта городского округа "Город Южно-Сах...»

«Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования "РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА И ГОСУДАРСТВЕННОЙ СЛУЖБЫ ПРИ ПРЕЗИДЕНТЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ" Волгоградский институт управления ­ филиал РАНХиГ...»

«Владимир Василенко Повести и рассказы Василенко В.Ю. Сочинения: В 5 т. Т. 3. Повести и рассказы. / Владимир Василенко. – Минск :. – 316 с. ISBN В третий том сочинений Владимира Василенко вошли повести и ра...»

«Утверждаю Первый заместитель министра путей сообщения СССР Г.М.ФАДЕЕВ 14 апреля 1988 г. N ЦУО/4583 Согласовано ГУПО МВД СССР 21 декабря 1987 г. N 7/1/2925 ПРАВИЛА ПОЖАРНОЙ БЕЗОПАСНОСТИ НА МЕТРОПОЛИТЕНАХ 1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ 1.1. Наст...»

«Отчет об итогах голосования на Годовом общем собрании акционеров Акционерного общества ОТП Банк (ОГРН 1027739176563, ИНН 7708001614) Акционерное общество ОТП Банк.Полное фирменное наименование общества: 125171, г. Москва, Ленинградское шоссе, д. 16А,...»







 
2019 www.librus.dobrota.biz - «Бесплатная электронная библиотека - собрание публикаций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.