WWW.LIBRUS.DOBROTA.BIZ
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - собрание публикаций
 

«ОПЕРАТО РЫ Ш РЕ Д И Н Г Е РА НА РА ЗВ Е Т В Л Е Н Н Ы Х М Н О ГО О БРА ЗИ Я Х М.Х. Н ум ан Э л ы н ей х Российский Университет Дружбы Народов, ул. М иклухо-Маклая, 6, Москва, ...»

88 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ Серия: Математика. Физика. 2014. №5(176). Вып. 34

MS С 35J10,

ОПЕРАТО РЫ Ш РЕ Д И Н Г Е РА НА РА ЗВ Е Т В Л Е Н Н Ы Х

М Н О ГО О БРА ЗИ Я Х

М.Х. Н ум ан Э л ы н ей х

Российский Университет Дружбы Народов,

ул. М иклухо-Маклая, 6, Москва, 117198, Россия, mohnuman@hotmail.com

А ннотация. Рассматриваются операторы Шредиш'ера на разветвленных мши'ообразнях переменной размерности. Получено описание множества самосопряженных расширений енмметрическох'о оператора Шредиш'ера, изначально заданнох'о на гладких финитных функциях, носитель которых не содержит точек ветвления мшнхюбразня .

К лю чевы е слова: уравнение Шредиш'ера, разветвленные мши'ообразия, самосопряжен­ ные расширения .

1. В в ед ен и е. Дифференциальны е операторы на разветвленных многообразиях име­ ют применения к описанию ряда процессов в квантовой механике, физике полупровод­ ников и биологии. Основы теории дифференциальны х уравнений па граф ах изложены в монографии |3|, в которой приведен ряд примеров физических задач, приводящих к исследованию дифференциальных операторов па графах. В работах 1 10, 4, 9| изу­ чены спектральные свойства таких операторов и исследованы динамические свойства эволюции, определяемых уравнением Ш редингера на графе. В работах |1, 6, 8, 111 ис­ следуется множество самосопряженных расширений оператора Ш редингера, заданного изначально па пространстве финитных гладких функций, не содержащих точек ветвле­ ния граф а (|6, 8, 111) или точек смены типа оператора (см .

|1|). В статье |8| найдены ап­ проксимации формулами Фейнмана унитарных полугрупп, задаваемых некоторыми из самосопряженных расширений. В настоящей статье рассматриваю тся операторы Ш ре­ дингера на разветвленных многообразиях, гладкие компоненты которых могут иметь различные размерности. Работа является продолжением исследований |8|, в которых изучался граф с конечным множеством рёбер, и работы |13|, в которой изучались опе­ раторы Ш редингера на одномерных разветвленных многообразиях .

Актуальность рассматриваемой задачи состоит в том, что в последнее время значи­ тельно усилился интерес к описанию динамики частиц на граф ах, дендритах и иных разветвленных многообразиях со стороны математической ф изики и квантовой меха­ ники. С математической точки зрения операция дифференцирования функции, одно­ значно определенная для функций, заданных на области или на гладком многообра­ зии, нуж дается в доопределении для функций, заданных на многообразиях, содержа­ щих точки ветвления. Цепь настоящего исследования - определить действие оператора Ш редингера на функциях, заданных на разветвленном многобразии, множество точек ветвления которого, называемое в дальнейшем многообразием ветвления, представляет собой объединение конечного множества гладких поверхностей различной размерности .

Д н я этой цени мы зададим оператор Ш редингера L0 на пространстве С°0 финитных НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ Щ Ш Серия: Математика. Физика. 2014. №5(176). Вып. 34 89 и бесконечно дифференцируемых функций, носители которых не содержат точек ветв­ ления и граничных точек многообразия. Оператором Ш редингера L на разветвленном многообразии будем называть самосопряженное расширение оператора L 0, В настоя­ щей работе дано описание множества всех операторов Ш редингера на разветвленном многообразии в терминах условий на множество предельных значений на многообразии ветвления функций из области определения оператора L .





2. О п ераторы Ш р ё д и н г е р а н а р а зв етв л ен н о м м н о го о б р а зи и. Определим П разветвленное многообразие Г как объединение Г = (J Г0, где Г0 при каж дом a G а=1 { 1,2,...,/?,} представляет собой (/(„-мерную ограниченную область в пространстве R da с (cla — 1) мерной гладкой границей i]a = 9Г0, Граница ?/ = 9Г многообразия Г пред­ ставляет собой объединение границ областей ?/ = IJ«=i VaТочка Q называется точкой ветвления многообразия Г, если она является граничной точкой дня не менее чем двух различны х областей Г0, при а ф /3 .

На Г задается борелевская мера, определяемая требованием, чтобы её сужение на каж дую из областей Г0 совпадало со стандартной мерой Лебега пространства Rda. То­ гда допустимо рассмотрение пространства квадратично интегрируемых комилекснозиачных функций иа Г, определяемых посредством равенства Ьг(Г) = ф Ь 2(Г0 ), Пусть С^°(Г) — векторное пространство бесконечно дифференцируемых комилекснозначных функций на Г с компактными носителями, не содержащими точек ветв­ ления разветвленного многообразия Г. Обозначим посредством Lo = ф Lq - линей­ ный оператор, определяемый на линейном пространстве D ( L q) = С ^ Г ) с равенством L 0t/. = {®Lq w*}, Lо W = — A aua + г(в ! (x ), V u a) + i div(B ^(*) ua) + Ca (x)ua .

a (2.1) ma Здесь {//„, a- = 1,..., /?.} — сужения функции и па области Г„, и G С^°(Г) и т а т® 0 Vq- = 1,..., п .

Мы будем предполагать, дополнительно, что имеет место:

н. t a(x) е С'1(гспд ^ ) П С ' ( г „, д ^ ), Са(х) е C(Ta,R) .

Мы будем изучать расширения операторов Lo с пространства С ^ Г ) на Ьг(Г). В аж ­ ность изучения таких расширений связана, в частности, с тем, что когда 71. С - веще­ ственнозначные, ограниченные и непрерывные всюду за исключением точек ветвлении функции на Г, т а = т, каждое симметрическое расширение является линейным само­ сопряженным оператором L в пространстве Ьг(Г), который представляет собой гамиль­ тониан квантовой частицы с массой т а во внешних электрическом и магнитном нолях {С,~ Й} и оператор L определяет динамику частицы на разветвленном многообразии посредством решения задачи Коши дня уравнения Ш редингера ( 2.2) =

–  –  –

где через b a = ~ \1]а обозначено предельные значения вектор-функции ~Йа на грани­ Еа це i]a .

Т еор ем а. Пусть вы полнено предполож ение Н о ф ун кц и ях Т1. С и m = 1, Ъ а = 0 д л я любого a G 1, п; А - линейны й оператор в пространстве h с плотной областью определения h?, значения которого лежат в линейном многообразии D a - линейное многообразие ф ункций и G граничны е значения которых связаны с граничны ми значениями и х производны х но направлению внеш ней нормали соотношением

–  –  –

необходимо и достаточно дня включения v D(L*A). Поскольку область определения оператора определяется уравнением —— = А и L, то = L* .

. Отсюда следует, что ОН г) М А = А*М - Ш. U З а к л ю ч ен и е. Полученное в работе описание множества всех операторов Ш редин­ гера на каж дом разветвленном многообразии, определяемых как самосопряженные рас­ ширения оператора, изначально заданного на гладких финитных ф ункциях с носите­ лями, не (содержащ ими точек ветвления многообразия дает описание различны х воз­ можностей определения оператора Ш редингера на пространстве функций, квадратично интегрируемых на этом разветвленном многообразии. Описание области определения каждого из самосопряженных расширений дается в терминах линейных соотношений, которым удовлетворяют предельные значения функции из области определения опе­ ратора и ее производной в точках ветвления и граничных точках рассматриваемого многообразия, заметим, что каждому из операторов Ш редингера соответствует марков­ ский процесс, поведение которого в окрестности точки ветвления многообразия опреде­ ляется выбором области определения оператора Ш редингера. Полученные результаты расш иряют область исследований работы |1 1 |, в которой дано описание самосопряжен­ ных расширений на граф е с одной вершиной и двумя ребрами, на случай графов с произвольным числом ребер и разветвленного многообразия с гладкими компонентами различны х размерностей .

Л и тер атур а

1. Амосов Г.Г., Сакбаев В.Ж. О самосопряженных расширениях оператора Шредингера с вырождением на на двух полупрямых и определяемых ими марковских коциклах /7 Матем. заметки. 2004. " 76;3. " С.335-343 .

2. Данфорд И., Шварц Дж.Т. Линейные операторы. Общая теория / М.: Изд. ин..лит., 1962 .

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ Е Ш Серия: Математика. Физика. 2014. №5(176). Вып. 34 93

3. Покорный Ю.В., Пенкин О.М., Прядиев В.Л., Боровских А.В., Лазарев К.П., Шабров С.А. Дифференциальные уравнения на х ’еометрических храфах / М.: Физматлит, 2004 .

4. Пенкин О.М., Покорный Ю.В. О некоторых качественных свойствах уравнений на од­ номерном клеточном комплексе /7 Матем. заметки. 1996. 59;6. С.777-780 .

5. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики, т.1. Функциональный анализ / М.: Мир, 1977 .

6. Сакбаев В.Ж., Смолянов О.Г. Динамика квантовой частицы с разрывной зависимостью массы от положения /7 Доклады РАН. 2010. 433:3. С.314-317 .

7. Като Т. Теория возмущений линейных операторов / М.: Мир, 1972 .

8. Сакбаев В.Ж., Смолянов О.Г. Диффузия и квантовая динамика на 1'рафах / / Доклады РАН. 2013. 451, №2. С.141-145. "

9. Толченников А.А., Чернышев В.Л., Шафаревич А.И. Асимптотические свойства и клас­ сические динамические системы в квантовых задачах на еишулярных пространствах /7 Нелинейная динамика. 2010. 6;3. С.623-638 .

10. Чернышев В.Л., Шафаревич А.И. Квазиклассический спектр оператора Шредиш'ера на геометрическом 1'рафе /7 Матем. заметки. 2007. 82;4. С.606-620 .

11. Gadella М., Kuru S., Negro.J. Self-adjoint Hamiltonians with a mass jump: General matching conditions /7 Phvs. Letters. 2007. ' 362, №4. P.265-268 .

12. Яковлев Г.Н. О следах функций из пространства Wp на кусочно-гладких поверхностях /7 Матем. сб. 1967. 74(116):4. С.526-543 .

13. Нуман Элынейх М.Х., Сакбаев В.Ж. Операторы Лапласа для уравнения Шредиш'ера на 1'рафах /7 Труды МФТИ. 2014. 6 .

–  –  –

A b stract. Sehrodingers operators on branched manifolds with variable dimension are studied .

In particular, the description of the set of self-adjoint extensions of symmetric Schrodinger operator initially defined on the set of smooth finite functions whose support does not contain branch points of the manifold are obtained.




Похожие работы:

«Правила составления, подачи и рассмотрения заявки на регистрацию фирменного наименования Зарегистрировано в Министерстве юстиции Кыргызской Республики 26 декабря 2006 года. Регистрационный номер 124­06 Утверждены...»

«[ Психология виртуальной реальности ] Национальный психологический журнал № 3(31) 2018 Психология виртуальной реальности National Psychological Journal 2018, 11(3) http://npsyj.ru и киберпсихология в XXI веке Оригинальная статья / Original Article УДК 316.75,...»

«Муниципальное дошкольное образовательное бюджетное учреждение "Детский сад общеразвивающего вида №9 "Огонёк" г . Соль-Илецка Оренбургской области. КОНСПЕКТ СПЕЦИАЛЬНО ОРГАНИЗОВАННОЙ СОВМЕСТНОЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ВЗРОСЛОГО И ДЕТ...»

«№ 4794 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ "Южный федеральный...»

«ФИРМЕННЫЙ СТИЛЬ ОГЛАВЛЕНИЕ НАЗНАЧЕНИЕ ФИРМЕННОГО СТИЛЯ ЭЛЕМЕНТЫ ФИРМЕННОГО СТИЛЯ ИМИДЖЕВЫЕ КОММУНИКАЦИОННЫЕ СРЕДСТВА IDENTITY GUIDE БРЭНД БУК НАЗНАЧЕНИЕ ФИРМЕННОГО БЛАНКА СТРУКТУРА ФИРМЕННОГО БЛАНКА ПРАВИЛА ТИПОГРАФИКИ И СТИЛЯ В ДИЗАЙНЕ ФИРМЕННОГО БЛАНКА ИЗГОТОВЛЕНИЕ...»

«Социальная психология и общество Social psychology and society 2018. Т. 9. № 2. С. 60—80 2018. Vol. 9, no. 2, рр. 60—80 doi: 10.17759/sps.2018090205 doi: 10.17759/sps.2018090205 ISSN: 2221-1527 (печатный) ISSN: 2221-1527 (print) ISSN: 2311-7052 (online) ISSN: 2...»

«ПРАВИТЕЛЬСТВО РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ РАСПОРЯЖЕНИЕ от 23 октября 2017 г. № 2324-р МОСКВА О подписании Соглашения между Правительством Российской Федерации и Правительством Республики Кипр о взаимодействии в проведении гуманитарных операций при возникновении кризисных ситуаций В соответствии с пунктом 1 статьи 11 Федерального закона О м...»

«Вестник МГТУ, том 19, № 1/1, 2016 г. стр. 89–100 УДК 551.72 П. В. Медведев, Ю. Л. Войтеховский, С. Ю. Чаженгина, И. В. Чикирёв О возрасте отложений п-овов Средний, Рыбачий и о-ва Кильдин (Кольский регион) в связи с находкой пластовых строматолитов P. V. Me...»







 
2019 www.librus.dobrota.biz - «Бесплатная электронная библиотека - собрание публикаций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.