«ОПЕРАТО РЫ Ш РЕ Д И Н Г Е РА НА РА ЗВ Е Т В Л Е Н Н Ы Х М Н О ГО О БРА ЗИ Я Х М.Х. Н ум ан Э л ы н ей х Российский Университет Дружбы Народов, ул. М иклухо-Маклая, 6, Москва, ...»

88 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ Серия: Математика. Физика. 2014. №5(176). Вып. 34

MS С 35J10,

ОПЕРАТО РЫ Ш РЕ Д И Н Г Е РА НА РА ЗВ Е Т В Л Е Н Н Ы Х

М Н О ГО О БРА ЗИ Я Х

М.Х. Н ум ан Э л ы н ей х

Российский Университет Дружбы Народов,

ул. М иклухо-Маклая, 6, Москва, 117198, Россия, mohnuman@hotmail.com

А ннотация. Рассматриваются операторы Шредиш'ера на разветвленных мши'ообразнях переменной размерности. Получено описание множества самосопряженных расширений енмметрическох'о оператора Шредиш'ера, изначально заданнох'о на гладких финитных функциях, носитель которых не содержит точек ветвления мшнхюбразня .

К лю чевы е слова: уравнение Шредиш'ера, разветвленные мши'ообразия, самосопряжен­ ные расширения .

1. В в ед ен и е. Дифференциальны е операторы на разветвленных многообразиях име­ ют применения к описанию ряда процессов в квантовой механике, физике полупровод­ ников и биологии. Основы теории дифференциальны х уравнений па граф ах изложены в монографии |3|, в которой приведен ряд примеров физических задач, приводящих к исследованию дифференциальных операторов па графах. В работах 1 10, 4, 9| изу­ чены спектральные свойства таких операторов и исследованы динамические свойства эволюции, определяемых уравнением Ш редингера на графе. В работах |1, 6, 8, 111 ис­ следуется множество самосопряженных расширений оператора Ш редингера, заданного изначально па пространстве финитных гладких функций, не содержащих точек ветвле­ ния граф а (|6, 8, 111) или точек смены типа оператора (см .

|1|). В статье |8| найдены ап­ проксимации формулами Фейнмана унитарных полугрупп, задаваемых некоторыми из самосопряженных расширений. В настоящей статье рассматриваю тся операторы Ш ре­ дингера на разветвленных многообразиях, гладкие компоненты которых могут иметь различные размерности. Работа является продолжением исследований |8|, в которых изучался граф с конечным множеством рёбер, и работы |13|, в которой изучались опе­ раторы Ш редингера на одномерных разветвленных многообразиях .

Актуальность рассматриваемой задачи состоит в том, что в последнее время значи­ тельно усилился интерес к описанию динамики частиц на граф ах, дендритах и иных разветвленных многообразиях со стороны математической ф изики и квантовой меха­ ники. С математической точки зрения операция дифференцирования функции, одно­ значно определенная для функций, заданных на области или на гладком многообра­ зии, нуж дается в доопределении для функций, заданных на многообразиях, содержа­ щих точки ветвления. Цепь настоящего исследования - определить действие оператора Ш редингера на функциях, заданных на разветвленном многобразии, множество точек ветвления которого, называемое в дальнейшем многообразием ветвления, представляет собой объединение конечного множества гладких поверхностей различной размерности .

Д н я этой цени мы зададим оператор Ш редингера L0 на пространстве С°0 финитных НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ Щ Ш Серия: Математика. Физика. 2014. №5(176). Вып. 34 89 и бесконечно дифференцируемых функций, носители которых не содержат точек ветв­ ления и граничных точек многообразия. Оператором Ш редингера L на разветвленном многообразии будем называть самосопряженное расширение оператора L 0, В настоя­ щей работе дано описание множества всех операторов Ш редингера на разветвленном многообразии в терминах условий на множество предельных значений на многообразии ветвления функций из области определения оператора L .

2. О п ераторы Ш р ё д и н г е р а н а р а зв етв л ен н о м м н о го о б р а зи и. Определим П разветвленное многообразие Г как объединение Г = (J Г0, где Г0 при каж дом a G а=1 { 1,2,...,/?,} представляет собой (/(„-мерную ограниченную область в пространстве R da с (cla — 1) мерной гладкой границей i]a = 9Г0, Граница ?/ = 9Г многообразия Г пред­ ставляет собой объединение границ областей ?/ = IJ«=i VaТочка Q называется точкой ветвления многообразия Г, если она является граничной точкой дня не менее чем двух различны х областей Г0, при а ф /3 .

На Г задается борелевская мера, определяемая требованием, чтобы её сужение на каж дую из областей Г0 совпадало со стандартной мерой Лебега пространства Rda. То­ гда допустимо рассмотрение пространства квадратично интегрируемых комилекснозиачных функций иа Г, определяемых посредством равенства Ьг(Г) = ф Ь 2(Г0 ), Пусть С^°(Г) — векторное пространство бесконечно дифференцируемых комилекснозначных функций на Г с компактными носителями, не содержащими точек ветв­ ления разветвленного многообразия Г. Обозначим посредством Lo = ф Lq - линей­ ный оператор, определяемый на линейном пространстве D ( L q) = С ^ Г ) с равенством L 0t/. = {®Lq w*}, Lо W = — A aua + г(в ! (x ), V u a) + i div(B ^(*) ua) + Ca (x)ua .

a (2.1) ma Здесь {//„, a- = 1,..., /?.} — сужения функции и па области Г„, и G С^°(Г) и т а т® 0 Vq- = 1,..., п .

Мы будем предполагать, дополнительно, что имеет место:

н. t a(x) е С'1(гспд ^ ) П С ' ( г „, д ^ ), Са(х) е C(Ta,R) .

Мы будем изучать расширения операторов Lo с пространства С ^ Г ) на Ьг(Г). В аж ­ ность изучения таких расширений связана, в частности, с тем, что когда 71. С - веще­ ственнозначные, ограниченные и непрерывные всюду за исключением точек ветвлении функции на Г, т а = т, каждое симметрическое расширение является линейным само­ сопряженным оператором L в пространстве Ьг(Г), который представляет собой гамиль­ тониан квантовой частицы с массой т а во внешних электрическом и магнитном нолях {С,~ Й} и оператор L определяет динамику частицы на разветвленном многообразии посредством решения задачи Коши дня уравнения Ш редингера ( 2.2) =

–  –  –

где через b a = ~ \1]а обозначено предельные значения вектор-функции ~Йа на грани­ Еа це i]a .

Т еор ем а. Пусть вы полнено предполож ение Н о ф ун кц и ях Т1. С и m = 1, Ъ а = 0 д л я любого a G 1, п; А - линейны й оператор в пространстве h с плотной областью определения h?, значения которого лежат в линейном многообразии D a - линейное многообразие ф ункций и G граничны е значения которых связаны с граничны ми значениями и х производны х но направлению внеш ней нормали соотношением

–  –  –

необходимо и достаточно дня включения v D(L*A). Поскольку область определения оператора определяется уравнением —— = А и L, то = L* .

. Отсюда следует, что ОН г) М А = А*М - Ш. U З а к л ю ч ен и е. Полученное в работе описание множества всех операторов Ш редин­ гера на каж дом разветвленном многообразии, определяемых как самосопряженные рас­ ширения оператора, изначально заданного на гладких финитных ф ункциях с носите­ лями, не (содержащ ими точек ветвления многообразия дает описание различны х воз­ можностей определения оператора Ш редингера на пространстве функций, квадратично интегрируемых на этом разветвленном многообразии. Описание области определения каждого из самосопряженных расширений дается в терминах линейных соотношений, которым удовлетворяют предельные значения функции из области определения опе­ ратора и ее производной в точках ветвления и граничных точках рассматриваемого многообразия, заметим, что каждому из операторов Ш редингера соответствует марков­ ский процесс, поведение которого в окрестности точки ветвления многообразия опреде­ ляется выбором области определения оператора Ш редингера. Полученные результаты расш иряют область исследований работы |1 1 |, в которой дано описание самосопряжен­ ных расширений на граф е с одной вершиной и двумя ребрами, на случай графов с произвольным числом ребер и разветвленного многообразия с гладкими компонентами различны х размерностей .

Л и тер атур а

1. Амосов Г.Г., Сакбаев В.Ж. О самосопряженных расширениях оператора Шредингера с вырождением на на двух полупрямых и определяемых ими марковских коциклах /7 Матем. заметки. 2004. " 76;3. " С.335-343 .

2. Данфорд И., Шварц Дж.Т. Линейные операторы. Общая теория / М.: Изд. ин..лит., 1962 .

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ Е Ш Серия: Математика. Физика. 2014. №5(176). Вып. 34 93

3. Покорный Ю.В., Пенкин О.М., Прядиев В.Л., Боровских А.В., Лазарев К.П., Шабров С.А. Дифференциальные уравнения на х ’еометрических храфах / М.: Физматлит, 2004 .

4. Пенкин О.М., Покорный Ю.В. О некоторых качественных свойствах уравнений на од­ номерном клеточном комплексе /7 Матем. заметки. 1996. 59;6. С.777-780 .

5. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики, т.1. Функциональный анализ / М.: Мир, 1977 .

6. Сакбаев В.Ж., Смолянов О.Г. Динамика квантовой частицы с разрывной зависимостью массы от положения /7 Доклады РАН. 2010. 433:3. С.314-317 .

7. Като Т. Теория возмущений линейных операторов / М.: Мир, 1972 .

8. Сакбаев В.Ж., Смолянов О.Г. Диффузия и квантовая динамика на 1'рафах / / Доклады РАН. 2013. 451, №2. С.141-145. "

9. Толченников А.А., Чернышев В.Л., Шафаревич А.И. Асимптотические свойства и клас­ сические динамические системы в квантовых задачах на еишулярных пространствах /7 Нелинейная динамика. 2010. 6;3. С.623-638 .

10. Чернышев В.Л., Шафаревич А.И. Квазиклассический спектр оператора Шредиш'ера на геометрическом 1'рафе /7 Матем. заметки. 2007. 82;4. С.606-620 .

11. Gadella М., Kuru S., Negro.J. Self-adjoint Hamiltonians with a mass jump: General matching conditions /7 Phvs. Letters. 2007. ' 362, №4. P.265-268 .

12. Яковлев Г.Н. О следах функций из пространства Wp на кусочно-гладких поверхностях /7 Матем. сб. 1967. 74(116):4. С.526-543 .

13. Нуман Элынейх М.Х., Сакбаев В.Ж. Операторы Лапласа для уравнения Шредиш'ера на 1'рафах /7 Труды МФТИ. 2014. 6 .

–  –  –

A b stract. Sehrodingers operators on branched manifolds with variable dimension are studied .

In particular, the description of the set of self-adjoint extensions of symmetric Schrodinger operator initially defined on the set of smooth finite functions whose support does not contain branch points of the manifold are obtained.