WWW.LIBRUS.DOBROTA.BIZ
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - собрание публикаций
 

«Городская математическая олимпиада им. Е.Н. Анисимовой. Решения и критерии отборочного тура, 7 класс Задача 1. Как провести через одну точку четыре прямые, чтобы среди углов a b ...»

Ижевский клуб интеллектуальных игр «Что? Где? Когда?»

Центр довузовского образования ФГБОУ ВПО «Удмуртский государственный университет»

Городская математическая олимпиада им. Е.Н. Анисимовой .

Решения и критерии отборочного тура, 7 класс

Задача 1. Как провести через одну точку четыре прямые, чтобы среди углов

a b

между ними были углы величиной 10, 20, 30, 40, 50 и 60? На чертеже

c

укажите величины углов. 20 Решение. см. рис. Крайние прямые – a и d, отстоят на 60. Между c и d – 10, d между a и c – 50. Между a и b – 20, значит, между b и d – 60. Угол между b и c составляет 60–10–20 = 30 .

Критерии. За правильный рисунок с обозначенными углами ставиться 7 баллов. Для полного балла все углы должны быть указаны на рисунке или описано, как их получить .

Задача 2. В записи натурального числа нет девяток .

Ваня взял несколько последних цифр этого числа, увеличил их на 1, и сложил получившееся число с изначальным. Могло ли в сумме получится число из одних четверок? Если да – приведите пример, если нет – докажите невозможность .

Ответ: нет, не могло. Решение. Посмотрим на последнюю цифру. Ваня точно её взял и увеличил на 1, значит, она поменяла четность. При сложении двух цифр разной четности можно получить только нечетную цифру, поэтому 4 получить нельзя .

Критерии. Ответ без обоснования – 0 баллов. Ответ с примерами «когда не выходит» – 0 баллов. Упоминание четности без должного обоснования (например, «не получится из-за четности» или «можно получить только нечетные числа») – 5 баллов .

Задача 3. В поход одноклассники взяли шоколадки .

Каждая девочка взяла по 18 штук «Твиксов», а каждый мальчик – 11 штук «Баунти». После того, как школьники все доели, оказалось, что каждая девочка съела по 7 шоколадок, а каждый мальчик – 21. Кого в поход пошло больше – девочек или мальчиков? Ответ обоснуйте .

Ответ: мальчиков больше. Решение. Будем считать, что каждый ел свои шоколадки. Тогда каждая девочка отдала 11 шоколадок, а мальчик взял 10 чужих. Значит, девочек меньше, при этом соотношение мальчиков к девочкам составляет 11:10 .

Критерии. Ответ без обоснования – 0 баллов. При обосновании не обязательно упоминать соотношение. Возможно обоснование через уравнение. Если уравнение составлено верно, но вывод неверен (например, получено соотношение 11d= 10m, вывод – девочек больше) – 4 балла .

Задача 4. Из фигурок на рис .

составили квадрат (фигурки кладут по линиям сетки). Каков минимальный возможный размер квадрата? Приведите пример и докажите, что меньше не получится .

Ответ: 1212. Решение. Площадь фигурки равна 6 клеткам, поэтому площадь квадрата делится на 6. Получаем, что сторона квадрата тоже делится на 6. Допустим, что можно получить сторону, равную 6 см. Фигурка имеет стороны в 1, 2 или 3 клетки. Если к верхнему краю квадрата примыкает сторона в 1 клетку, то для того, чтобы заполнить два столбца рядом, нужны столбцы в 1 и 2 клетки, значит, другая фигурка будет располагаться однозначно, и они вместе составят прямоугольник 34. Тогда оставшиеся две клетки на верхнем крае должны быть заняты стороной фигурки 2, но, как бы ни располагалась наша фигурка, среднюю клетку не заполнить .

Пусть к верхней стороне прилегают три части фигурок по 2 клетки. Тогда в третьей сверху строке будет три части по три клетки, что невозможно. Следовательно, верхняя стороны квадрата (как и любая другая) заполняется только частями длиной три. Тогда в левом углу фигурка стоит однозначно с точностью до поворота, а вторая фигурка может стоять двумя способами. В любом из этих способов очевидно, что остальное пространство фигурками не заполнить .





Ижевский клуб интеллектуальных игр «Что? Где? Когда?»

Центр довузовского образования ФГБОУ ВПО «Удмуртский государственный университет»

Для заполнения квадрата 1212 надо сложить из двух фигурок прямоугольник 34, после чего из них составить квадрат (положить 3 квадрата горизонтально и 4 по вертикали) .

Критерии. Пример квадрата 1212 – 2 балла .

Доказательство того, что полученный квадрат должен иметь сторону, кратную 6 – 1 балл .

Доказательство того, что к стороне получившегося квадрата не может примыкать сторона фигурки в 1 клетку – 1 балл .

Доказательство того, что к стороне квадрата не могут примыкать стороны фигурки длиной 2 – 2 балла .

Доказательство того, что если к сторонам квадрата примыкают только стороны в 3 клетки, то квадрат 66 не сложить – 1 балл .

Баллы за части задачи складываются .

Задача 5. В задании на контрольной надо было подсчитать сумму 1,11 + 1,22 + 1,33 + 1,44 + 1,55 + 1,66 + 1,77 + 1,88 + 1,99 .

Ваня думал, что в ответе обязательно должно быть целое число, поэтому он, не заметив часть запятых, получил целое число. Какое наименьшее число запятых мог не заметить Ваня? Ответ обоснуйте .

Ответ: девять запятых (все запятые). Решение. Умножим все на 100 и получим задачу в целых числах. Если Ваня не заметил запятую, то в новой задаче он умножил число на 100. В итоге получилось число, кратное 100 .

Теперь будем рассматривать не сами числа, а остатки при делении на 100. Следовательно, вопрос в том, какое наименьшее количество числе надо вычеркнуть из суммы 11+22+…+99 так, чтобы получилось число, кратное 100 .

Заметим, что 11+22+…+99= 11(1+2+…+9) = 495. Заметим, что все числа в сумме кратны 11, поэтому после вычеркивания останется число, кратное 11. Но оно будет кратно 100, значит, кратно 1100 и меньше 495. Это только 0, поэтому надо вычеркнуть все числа .

Критерии. Ответ без обоснования – 1 балл .

Если при решении переборов перебраны не все случаи, то не больше 3 баллов. Если при решении числа разбиваются на пары, которые в сумме дают целое число десятых, (1,11+1, 99 и т.д.), то скорее всего, решение неверно, так как целое число десятых можно получать, комбинируя несколько чисел (будьте внимательны при проверке) .

Идея домножения на 100 и рассмотрения задачи в целых числах без дальнейших продвижений – 1 балл Ижевский клуб интеллектуальных игр «Что? Где? Когда?»

Центр довузовского образования ФГБОУ ВПО «Удмуртский государственный университет»

–  –  –

Критерии. Никаких ограничений на переменные ставить не надо (они очевидны из существования выражений) .

Ответ без обоснований – 1 балл. Получение из первого выражения соотношения a2+b2–1 = ab – 3 балла .

Задача 5. Учитель выписала на доску 10 чисел .

Ваня выписал себе в тетрадь среднее арифметическое первых двух чисел на доске, потом – среднее арифметическое первых трех чисел на доске, потом – первых четырех и так до среднего арифметического всех чисел. Среди Ваниных чисел оказалось 6 одинаковых чисел. Докажите, что на доске есть хотя бы два равных числа .

Ижевский клуб интеллектуальных игр «Что? Где? Когда?»

Центр довузовского образования ФГБОУ ВПО «Удмуртский государственный университет»

Решение. Пусть на доске выписаны числа a1, a2, …a10. Обозначим то число, которое повторяется среди Ваниных + ++ чисел 6 раз, через s, после чего рассмотрим набор bi = ai –s. Пусть 1 2 =, тогда a1+a2+…+ak = ks, тогда b1+b2+…+bk = a1+a2+…+ak – ks = 0. То есть среди девяти сумм b1+b2, b1+b2+b3, …, b1+b2+..+b9 шесть сумм равны нулю .

Если две подряд идущие суммы равны нулю, то вычтем меньшую из большей и получим, что bi=0, а значит, ai = s, то есть каждые две подряд идущие равные нулю суммы означают, что ai = s. Пусть среди девяти сумм, среди которых шесть равны нулю, ровно одна пара нулей идет подряд. Объединим их. Тогда среди 8 чисел есть пять нулей, и никакие два не идут подряд, такого быть не может. Получаем, что есть две пары идущих подряд нулей, значит, среди первоначальных чисел минимум два числа равны s, значит, равны между собой .

Критерии. Идея рассмотрения набора bi = ai –s без дальнейших продвижений – 1 балл .

При решении может быть рассмотрение нескольких пар подряд идущих одинаковых средних без идеи сдвига (эта идея вовсе не обязательна) .

При решении без доказательства сказано, что если среди девяти чисел, записанных в ряд, шесть равны,




Похожие работы:

«Компания ВЕНТС, мировой вентиляционный лидер, разработала ультрасовременный инновационный вентилятор VENTS iFan на основе передовых технологий в области вентиляционного оборудования. VENTS iFan открывает абсолютно...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования "Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б.Н. Ельцина" Институт физической культуры, с...»

«ISBN 5-201-00-856-9 (7) Серия: Исследования по прикладной и неотложной этнологии (издается с 1990 г.) Редколлегия: академик РАН В.А. Тишков (отв. ред.), к.и.н. Н.А. Лопуленко, д.и.н. М.Ю. Мартынова. Материалы серии отражают точку зрения авторов и могут не совпадать с позицией редакционн...»

«РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ (19) (11) (13) RU 2 450 019 C2 (51) МПК C07K 14/22 (2006.01) C07K 16/12 (2006.01) C12N 15/13 (2006.01) A61K 39/40 (2006.01) A61P 31/04 (2006.01) ФЕДЕРАЛЬНАЯ СЛУЖБА ПО ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНОЙ СОБСТВЕННОСТИ (12) ОПИСАНИЕ ИЗОБР...»

«(19) (11) (13) РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ RU 2 478 092 C2 (51) МПК C07C 209/48 (2006.01) C07C 211/10 (2006.01) C07C 211/14 (2006.01) C07C 253/30 (2006.01) C07C 255/25 (2006.01) ФЕДЕРАЛЬНАЯ СЛУЖБА ПО ИНТЕЛЛЕКТУ...»

«ЗАО "Связь инжиниринг М" Конфигуратор УМ v.6 Описание интерфейса и принципов работы УМ-31RTU/УМ-40RTU.2, УМ-31 Содержание Введение Термины и определения 1. Главное меню и настройки программы 1.1 Описание Главного меню 2. Настройка УМ-31RTU/УМ-40RTU.2 2.1 Описание интерфейса 2.1.1 Описание основного интерф...»

«ПРОГРАММА Дня молитвы сестер церквей ЕХБ России Первая неделя февраля 2012 Тема: ПУТЬ ВЕРЫ Приветствуем Вас, дорогие сестры! Благодать вам и мир от Бога Отца и Господа нашего Иисуса Христа! Возрадуйтесь, род избранный, царственное священство! Вновь настал чудесный день, когда мы можем все вместе помоли...»

«"ЗАРЕГИСТРИРОВАНО Утвержден “19” ноября 2018 г. "13_" _декабря_ 2018 года Индивидуальный государственный регистрационный номер: 401481В002Р Наблюдательный совет ПАО Сбербанк (орган эмитента, утвердивший проспект ценных бумаг) Департамент корпоративных отношений Банка России (наименован...»







 
2019 www.librus.dobrota.biz - «Бесплатная электронная библиотека - собрание публикаций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.