«ОрДОНс) Jlf'HHHc) И ОРДГНН )*'ЯЬрЬМ)И Институт атомной энергии им • И В. Курчатова ИАЭ-4803/6 М.В. Осипенко, Р.В. Шурыгин КВАЗИЛИНЕЙНАЯ ГИДРОДИНАМИКА ПРОЛЕТНЫХ И ЗАПЕРТЫХ ЧАСТИЦ ПРИ ...»

!

' ••IV '^ЮцИИ

ОрДОНс) Jlf'HHHc) И ОРДГНН )*'ЯЬрЬМ)И

Институт атомной энергии

им • И В. Курчатова

ИАЭ-4803/6

М.В. Осипенко, Р.В. Шурыгин

КВАЗИЛИНЕЙНАЯ ГИДРОДИНАМИКА

ПРОЛЕТНЫХ И ЗАПЕРТЫХ ЧАСТИЦ

ПРИ АЛЬФВЕНОВСКОМ ВЧ-НАГРЕВЕ

Москва — ЦНИИатоминформ —1989

УДК 533.951

Ключевые слова: токемек, альфвеновский награв, стохастическая динамика частиц .

Получана система уравнений квазилинейной гидродинамики слебсстолкновительной плазмы при апьфвеновском нагреве в токамака. Показано, что переносы в основном определяются пролетными злектроивми: их взаимодействие с волной приводит к появлению конвективных потоков, направление которых определяется направлением вращения волны. Появляется также и сила, ответственная за генерацию тока. Запертые алектроны при взаимодействии с волной с малой фазовой скоростью поглощают знергию волны, но не вносят вклада в ток, что приводит к снижению локальной зффективности генерации тока. Обсуждаются условия стохастизеции движения пролетных и запертых частиц в поле монохроматической волны .

A tet of queeilinear hydrodynamic equations for Atfven wave heated tokamak platma in the regime of rare collieior* has been developed. It we* shown, that the transport it mainly determined by peering electrons: their interaction with the wave leads to the appearance of corrective flows, whose direction depends on that of wave rotation .

RF-force responsible for current generation also arise*. Interacting with the Atfven wave (with law phase veto city) the trapped electrons absorb the wave energy but make no contribution to the current generation. Therefore local current drive efficiency decreases. The stoehaetidty conditions of trapped and passing particle motion in the field of monochromatic wave in toroidal geometry were obtained .

© Центральный неучно-иссяедоветельский институт »^в^^^ь^^^ь^^^ А А ^s'Bft^tf е^н^в e^ptf%^ek^M?tfe^^^^fe^B^BB^BBAB^Mibe^pBBi ^в* вд^цльвк^в^н^ле^в^^в^^^^^в^в^ VVv7^BB4vVl^^SeVBMBJWW ^W Ш 4V^4i^^n^V ^^*Ч^ ~ ^В^^^Я1^^^^гчв^^ВВ^^Р ^^^В^вР^^*V4 ^ ^ B^^v^Wjpe^B/^BBB^%^RB^RBH^VBWV^V по атомной науке и технике (ЦНИИетомииформ), 1 M B ВВЕДЕНИЕ Одной из перспективных возможностей повышении энергосодержания плазмы токамака является использование в качестве дополнительного нагрева альфвеновских волн с частотами вблизи МГД-альфвеновской моды « ~ о д ~ к | С д. Привлекательность этого диапазона частот связана как с наличием мощных ВЧ-генераторов, так и с относительной простотой возбуждающих систем. Винтовой контур излучает монохроматические бегущие волны, что позволяет нагревать плазму, генерировать токи увлечения, контролировать радиальные переносы [ 1 ] .

Цель данной работы — последовательное получение квазилинейной гидродинамики в случае альфвеновского нагрева с учетом пролетных и запертых частиц, а также вывод ряда общих соотношений между потоками, ВЧ-силой и мощностью, полезных для понимания физических процессов при этом способе нагрева. Эволюцию основных параметров плазмы N, T, j, усредненных по магнитной поверхности, можно описать в рамках общего формализма, развитого в работах [2 — 4] на основе тороидальной квазилинейной теории [ 5 ]. Однако, как показано в работе [ 4 ], расчеты Кауфмана [S] справедливы лишь в случае электростатических волн, поэтому для электромагнитной альфвеновской волны мы приводим вывод квазилинейного коэффициента диффузии в переменных действие — угол. Вопрос о применимости квазилинейного приближения при описании взаимодействия частицы с монохроматической волной в тороидальной геометрии также обсуждается в нашей работе .

Полученная система уравнений квазилинейной гидродинамики позволяет об-ьяснить некоторые экспериментальные факты, характеризующие поведение плазмы при альфвеновском нагреве (зависимость удержания частиц от направления распространения волны, увеличение температуры электронов, изменение профиля тока), а также оценить эффективность генерации тока увлечения с учетом запертых частиц. Показано, что переносы при альфвеновском нагреве определяются в основном динамикой электронов .

ОБЩИЕ СООТНОШЕНИЯ

МЕЖДУ ФУРЬЕ-КОМПОНЕНТАМИ СИЛ

И ПОТОКОВ Напомним кратко обозначения и формализм, предложенные в работах [2, 3] для описания переносов в тороидальных системах в квазилинейном приближении. Эволюция функции распределения в низшем порядке описывается уравнением

–  –  –

где Ъ • pfibfun6 UU-и) - квазилинейный тензор диффузии в пространстве действий 3 * (М, Р, J ), которые являются адиабатическими инвариантами и вместе с сопряженными углами в • {в. *р, в) образуют наиболее удобный набор переменных в фазовом пространстве. Действия даются выражениями

–  –  –

где К ( к ) и Е (к) — эллиптические интегралы первого и второго рода .

Так к а к обычно w = -сФс/RB со д, далее везде радиальное электрическое поле не учитывается .

Как было показано в работе [ 2 ], уравнение

–  –  –

^ ( 1 4 )

Для глубоко запертых частиц к 1:

Pj»=(r/lq)(eB/c)a)r}». (17) Здесь kf= (Iq - n) /qR, m — масса электрона и учтен знак заряда электрона .

К сожалению, мы можем адекватно описать поведение присепаратрисных частиц ( к * 1 ), н о вклад их в резонансное взаимодействие с волной невелик (ибо резонансное условие при к ~ 1 выполняется только для вьюокоэнергетичных частиц), что подтверждается и численным моделированием [2] .

Приведем некоторые соображения, касающиеся вывода и физического смысла соотношений (12) — (17). Эти соотношения справедливы с точностью р/а, как и формулы, используемые ниже в этом разделе, более точные варианты этих формул приведены в приложении 1. Записывая резонансное условие для пролетных частиц в виде fcjv, * из (v, ~ v J, из (7), (8) получим (12), откуда видно, что поток импульса возникает вследствие радиальной дифеуэии резонансных частиц. Из равенства ТЭ (mv,) / д Т " //R - n/qR = kj- и (10), (11) следует известное соотношение между силой и мощностью при резонансном взаимодействии волна—частица. Соотношение (14) получается из ( 7 ), ( 1 1 ), если учесть, что для пролетных частиц Тда/3 Т « -nc/е (к 1 ). Заметим, что ВЧ-сила, действующая на пролетные частицы, существенно превышает дивергенцию потока импульса. Оценивая силу и поток как R u ~mRV|, где mv, ~еЁ*,; *ru ~ ~(mRvf v,, v r ~cE,/B, находим wu/Hua ~Р р /оПри выводе соотношений для запертых частиц необходимо учитывать конечную ширину "банана".

При к 1, согласно формуле (П.10) приложения 1:

-Эа IT Если не учитывать в функции распределения первый член разложения по ширине "банана" порядка р /а, то из-за усреднения по в вклад в поток частиц (7) дает только первое слагаемое ( 1 8 ), а вклад в поток импульса (8) — только второе слагаемое в ( 1 8 ). Сравнивая выражения для потоков частиц и импульса, получим ( 1 5 ). При вычислении силы, действующей на запертые частицы, приходится учесть разложение f 0 по ширине "банана" (ati -а — Оо = mcqRoV|/e):

–  –  –

СТОХАСТИЗАЦИЯ ДВИЖЕНИЯ ПРОЛЕТНЫХ И ЗАПЕРТЫХ ЧАСТИЦ

Ш ПОЛЕ МОНОХРОМАТИЧЕСКОЙ ВОЛНЫ В ТОКАМАКЕ

Рассмотрим взаимодействие частицы с монохроматической альфе*невской волной, считая, что скалярный и верторный потенциалы возмущения заданы в виде | A ( r ) Jexp{i(Lr-N0-wt)}+K.c, (19) где А » A f # ) .

Так как канонические углы р, в связаны с физическими f, 0 сложным нелинейным образом [(П.7), (П.8)], то монохроматическая в физических углах волна порождает целый спектр возмущений в системе координат \р, в, связанной с дрейфовой траекторией частицы. Квазилинейный коэффициент диффузии для электромагнитных возмущений, согласно [4], дается выражением

–  –  –

H где v E « сЕ,/В, v T » (2T e /m) .

Обратимся теперь к вопросу о применимости квазилинейного приближения при вычислении коэффициента диффузии (21), т.е. рассмотрим вопрос о стохастиэации движения пролетных и запертых частиц в поле монохроматической волны. Вблизи резонанса &2(J 0, Ро) * « уравнения движения имеют вид

–  –  –

где опущены нерезонансные быстро осциллирующие члены и обозначено 4f- Ж - cot. Далее воспользуемся стандартным формализмом для исследования поведения нелинейной системы вблизи резонанса [6, 7 ]. Если возмущение мало, а нелинейность существенна:

–  –  –

Н(в". 7. t) = H(0", J", t) + 3F2 tf. T, t) = Hit. T, t) - col, .

Воспользовавшись тем, что ^ * P//, J 2 = nP// + J » const, т.е. ДР * —/AJ/n, и (26), найдем с точностью до несущественной константы

–  –  –

Отсюда видно, что вблизи резонанса система эквмююнтна одномерному осциллятору с частотой to2, ~ \7.dU/dJ.l8Hj\.

Ширина сепаратрисы фазовых колебаний по действию определяется из ( 2 8 ) :

–  –  –

литуды волны (см. рис. 1) можно найти границы области в фазовом пространстве по к, в которых проводится интегрирование к * с к к " при вычислении потоков. Как следует из рис. 1, при v E /v T ~ 10 с Е, ~100 В/м поля используются в экспериментах по альфвеновскому нагреву [ 1, 8] и при численном моделировании [9] движение частиц стохастизовано в большей части фазозого объема, если Lq — N не мало. Такому случаю соответствует кривая 1 на рис. 1, для нее Lq — N = 5, L = 2, N = — 1, q = 2, при этом для запертых частиц перекрыты резонансы I nl 4, а для пролетных — резонансы I N — п| 3. При переходе к Lq - N = 1, L = 2, N = 3, q = 2 (кривая 2) область фазового пространства, в которой перекрыты резонансы | п | 4 для запертых частиц и | N — п| 2 для пролетных, уменьшается при той же амплитуде волны. Т.е. при неудачном выборе параметров волны движутся стохастически только присепаратрисные (к ~ 1) частицы, которые дают малый вклад в квазилинейный транспорт .

Однако учет столкновений [10], а также наличие конечной ширины спектров по к, а в реальных экспериментах дают дополнительную возможность стохастизации траекторий частиц. Поэтому далее предполагается, что резонансы с наибольшими амплитудами перекрыты: к* 1 к" .

С С

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОТОКОВ ПРОЛЕТНЫХ И ЗАПЕРТЫХ ЧАСТИЦ

ПРИ АЛЬФВЕНОВСКОМ НАГРЕВЕ

Для пролетных электронов возьмем простейшую функцию распределения, которая качественно описывает наличие тороидального тока:

–  –  –

x Используя предел к 1, заменим К (к) -»-w/2, J N n (I Lq — Nl / 4 к 2 ) и, опуская малые слагаемые в фигурных скобках: градиентное (~ и третье ( ~ U, / V T ), получим

–  –  –

(36) (37) (38) Таким образом, знак конвективного потока тепла совпадает со знаком потока частиц и определяется направлением вращения волны, а мощность Р е 0, поэтому в разрядах с хорошим удержанием наблюдается увеличение плотности и температуры электронов [1, 8 ]. Направление продольной силы определяется знаком k | r и именно эта сила, как будет показано ниже, ответственна за генерацию тока .

Рассмотрим теперь процессы переноса, связанные с запертыми частицами. Если пренебречь градиентными членами, поток запертых частиц имеет вид 2я л djudH0 /с со t

–  –  –

-)]. (39) Сравнивая его с потоком пролетных частиц (33), получим

–  –  –

В заключение оценим эффективность генерации тока альфвеноаскими волнами с учетом пролетных и запертых частиц.

Пренебрегая инерцией электронов, запишем уравнение для тороидального импульса электронов с учетом трения об ионы:

–  –  –

скоростью co/k.v. При 6 = 0, когда запертые частицы отсутствуют, эффективность растет при уменьшении оз, так к а к при w -+0 мощность Р ~ ~ со2 ехр (—сЗ2) убывает быстрее, чем сила R ~ сЗехр (—Со2), действующая на пролетные частицы и приводящая к возникновению тока. При е Ф 0, если сЗ мало (to еА), резонансное условие выполняется в основном для запертых частиц, доля же резонансных пролетных частиц становится малой, что приводит к росту 7 и, следовательно, к уменьшению %

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Получена система квазилинейных гидродинамических уравнений, описывающая эволюцию основных параметров плазмы при альфвеновском нагреве. Хотя процессы переноса определяются в основном пролетными электронами, вклад запертых частиц необходимо учитывать при оценке локальной эффективности генерации тока. При о7 1 взаимодействие запертых частиц с монохроматической волной приводит к стохастизации их траекторий, при этом они поглощают энергию волны, но не участвуют в генерации тока, поэтому эффективность генерации тока увлечения альфвеновскими волнами снижается .

Показано, что взаимодействие пролетных электронов с А-волной приводит к появлению конвективных потоков частиц и тепла (которые могут превышать диффузионные потоки), причем их направление определяется направлением вращения волны, что дает возможность влиять на радиальные переносы с помощью А-волн: увеличивать плотность плазмы или выводить примеси .

В работе подробно обсуждается вопрос о корректности использования квазилинейного приближения в случае монохроматической (в углах 0, f ) волны .

Полученные выражения для потоков могут быть использованы в балансных кодах для расчетов параметров плазмы при альфвеновском нагреве. Результаты работы дают основание утверждать, что ПОР меняемый формализм позволяет единообразным способом описать прс :ы переноса при любом методе ВЧ-нагрева с последовательным учетом лжчия при резонансном взаимодействии с волной пролетных и запертых частиц. Полученные результаты справедливы для плазмы в режиме редких столкновений, т.е. для центральной части плазменного шнура .

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

–  –  –

ПРИЛОЖЕНИЕ 2 Получено выражение для тензора квазилинейной диффузии в случае электромагнитных возмущений. Если в системе присутствует возмущение магнитного потенциала, то оно явно входит в выражение для обобщенного импульса

–  –  –

При этом векторный потенциал возмущения возникает только в преобразованиях Р, q -*• $о. 5о "*• X где Т, 9 " - переменные действие - угол невозмущенной системы, но они теперь не являются каноническими для гамильтониана Н, и эволюция их определяется не уравнениями Гамильтона j"= —ЭН/Э0, а уравнениями вида

–  –  –

7*— 7*' ^ (П.29) Заметим, что только А. компонента магнитного потенциала возмущения оказывает существенное.влияние на движение частиц, (далее индекс опущен). Выражение для J, удобно записать в виде

–  –  –

Отсюда видно, что для резонансных частиц (йТ - ш) второе слагаемое обращается в ноль и при вычислении Jj- можно использовать стандартное выражение где 8Нр= еФ^- e/c(v,A)^ (фурье-компонента гамильтониана возмущения) дается выражением

–  –  –

1. Елфимов А.Г., Киров А.Г., Сидоров В.П. Альфвеновский нагрев плазмы и генерация токов увлечения. — В кн.: Высокочастотный нагрев плазмы .

Мат. Всесоюз. совещ. - Горький: ИПФ АН СССР, 1983, с. 211 .

2. Mahajan S.M., Hazeltine R.D., Hitchcoch D,A. Quazilinear diffusion and radial transport in tokamaks. - Phys. Fluids, 1981, vol. 24(6), p. 1164 .

3. Mahajan S.M., Hazeltine R.O., Hitchcoch D.A. Quazilinear momentum and energy transport. - Phys. Fluids, 1983, vol. 26 (3), p. 700 .

4. Mahajan S.M., Chen C.Y. Plasma kinetic theory in action angle variables.— Phys. Fluids, 1985, vol. 28(12). p. 3538 .

5. Kaufman A.N. Quasi linear diffusion of an axisymmetric toroidal plasma. - Phys. Fluids, 1972, vol. 15 (6), p. 1063 .

6. Либерман М., Лихтенберг А. Регулярная и стохастическая механика. — М.: Мир, 1984, с. 123 .

7. Заславский Г.М. Стохастичность динамических систем. — М.: Наука, 1984, с. 20, 87 .

8. Besson G. et al. A review of alfven wave heating. — Plasma Phys. Contr .

Fusion, 1986, vol. 28(9A). p. 1291 .

9. Krlin L. et al. On the stochastic interaction of monochromatic Alfven wares with toroidally trapped particles. — Plasma Phys. Contr. Fusion, 1987, vol. 29(12), p. 1653 .

10. Belikov V.S., Kolesnichenko Ya.l. Theory of the interaction of an r f field w i t h trapped particles in tokamaks. - Nucl. Fus., 1987, vol 27(9), p. 1371 .

11. Fish N.J., Karney F.F. Current generation w i t h low-frequency waves.— Phys. Fluids, 1981, vol. 24(1),p. 27 .

% $ If iv p Редактор Г.Я. Кармадоном j§ Технический редактор С. К. Смелом J Корректор Л.В. Пономарем Ш Подписано • печать 08.02.88. Т-04190. Формат 60x90/16. [| Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,25. Уч.*и1Д. л. 1,3 ^| Тираж 140. Цена 25 коп, Эекае 119. Индекс 3624