WWW.LIBRUS.DOBROTA.BIZ
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - собрание публикаций
 


«2017/2018 учебный год Задания для 10–11 классов 1. (10 баллов) На уроке арифметики дети изучали некоторые натуральные числа и действия над ними. Учительница выдала детям много карточек с числами ...»

Олимпиада школьников СПбГУ по математике

Примеры заданий отборочного этапа

2017/2018 учебный год

Задания для 10–11 классов

1. (10 баллов) На уроке арифметики дети изучали некоторые натуральные числа и действия над ними. Учительница выдала детям много карточек с числами 1, 2, 4 и 8 и

попросила, используя каждое из чисел, расположить карточки по кругу так, чтобы

сумма чисел на любых рядом расположенных карточках делилась на 3, но не делилась

на 9. Сколько карточек дети могли бы использовать, чтобы выполнить это задание?

а) 8; б) 9; в) 10; г) 11 .

Ответ: а) и в) .

Первое решение: Достаточно доказать, что решением задачи являются числа вида 6 + 2k, где k целое неотрицательное .

Покажем вначале, что минимальным ответом будет 6. Рядом с числом 1 может находиться только 2, а рядом с числом 8 только 4. Так как по условию карточки с числами 1 и 8 используются, в итоговом наборе должны быть тройки 2–1–2 и 4–8–4. Следовательно, меньше 6 карточек использовать нельзя. Поскольку карточки с числами 2 и 4 могут быть рядом, то набор из этих двух троек удовлетворяет условию .

Заметим теперь, что между карточками с числами 2 и 4 можно поместить пару 2–4 или 4–2. Проделав эту операцию k раз, мы получим, что числа вида 6 + 2k удовлетворяют условию .

Осталось проверить, что количество карточек обязательно четно. Пусть A = {2, 8} и B = {1, 4}. Очевидно, что элементы множества A не могут стоять рядом друг с другом; аналогично, не могут располагаться рядом элементы множества B. Таким образом, количество использованных карточек из множества A в правильном расположении карточек равно количеству использованных карточек из множества B. Отсюда получаем, что общее количество карточек всегда четно .

Второе решение: Будем считать, что вершины графа соответствуют указанным на карточках числам. Соединим вершины p и q ориентированным ребром, если карточка с числом q может быть расположена после карточки с числом p. Нас интересует, какой длины может быть замкнутый маршрут, проходящий через все вершины. Легко заметить, что для представленного графа эта величина равна 6 + 2k (k целое неотрицательное) .

2. (10 баллов) В треугольнике ABC на стороне BC отмечена точка D, а на отрезке AD точка M такая, что треугольники AM B и AM C имеют равную площадь. Какие из перечисленных утверждений являются верными?

а) Точка D обязательно является серединой стороны BC .

б) Точка D может и не быть серединой стороны BC .

в) Точка M обязательно является серединой отрезка AD .

г) Точка M может и не быть серединой отрезка AD .

Ответ: а), г) Решение: Перепишем условие задачи в виде · AM · sin BAM AB AB · sin BAM S A

–  –  –

Правая часть этого равенства не зависит от положения точки M на отрезке AD. Отсюда вытекают два вывода. Во-первых, утверждение г) верно, а в) неверно. Во-вторых, условие задачи останется выполненным, если взять M = D. У треугольников ABD и ACD общая высота, а их основания равны соответственно BD и CD. Поэтому в силу равенства площадей треугольников BD = CD. Таким образом, утверждение а) верно, а б) неверно .

3. (20 баллов) Пенсионерки одной из планет Альфа Центавра свободное время любят проводить за решением цифровых пасьянсов: выбирают натуральные числа из некоторого промежутка [A, B] таким образом, чтобы сумма любых двух из выбранных чисел не делилась на некое заданное число N. На прошедшей неделе газета “АльфаЦентаврианская панорама” предложила читальницам для решения пасьянс со значениями A = 1353, B = 2134, N = 11. Какое максимальное количество чисел может быть решением такого пасьянса?





Ответ: 356 .

Решение: Для k = 0, 1,..., 10 обозначим через Ik множество всех чисел из [A, B), дающих при делении на 11 остаток k. Так как A и B кратны 11, все множества Ik содержат равное число элементов. Поэтому все числа из [A, B), не кратные 11, можно разбить на пары вида (x, y), где x Ik, y I11k при некотором k из {1,..., 5}. Количество таких пар равно 21341353 · 5 = 355. Очевидно, из каждой пары в итоговый набор может попасть не более одного числа. Кроме того, этот набор может содержать максимум одно число, кратное 11. Таким образом, в решение входит не более 356 чисел .

Покажем теперь, что набор из 356 чисел реализуется. Включим в него A и все числа, дающие при делении на 11 нечетные остатки. Возьмем в этом наборе числа x и y, отличные друг от друга и от A. Тогда (x mod 11) + (y mod 11) четное число между 2 и 18. Поэтому оно не делится на 11, и x + y, значит, тоже. Очевидно, что и A + x не кратно 11. Значит, такой набор удовлетворяет условию задачи. Осталось заметить, что он содержит 21341353 · 5 + 1 = 356 чисел .

4. (20 баллов) Перед уроком геометрии учительница выписала на доске значения всех углов (в градусах) некоторого выпуклого многоугольника. Однако, дежурные одно из выписанных чисел стерли. Когда начался урок, оказалось, что сумма оставшихся чисел равна 1703. Какое число стерли дежурные?

Ответ: 97 .

Решение: Пусть у многоугольника было n вершин. Так как n-угольник выпуклый, каждый его угол меньше 180, а сумма всех углов равна (n 2) · 180. Значит, сумма всех углов многоугольника за вычетом одного лежит в интервале от 180(n 3) до 180(n 2). Тогда 180(n 3) 1703 180(n 2), откуда n = + 3 = 12 .

Поэтому недостающий угол равен 180 · 10 1703 = 97 градусов .

5. (30 баллов) В остроугольном треугольнике SAP проведена высота AK. На стороне P A выбрали точку L, а на продолжении стороны SA за точку A точку M так, что LSP = LP S и M SP = M P S. Прямые SL и P M пересекают прямую AK в точках N и O соответственно. Докажите, что 2M L = N O .

Решение: Из равенства углов LSP и LP S следует, что треугольник LSP равнобед

–  –  –

7. (40 баллов) В тридевятом царстве 39 городов. Известно, что из каждого города в другие выходит не менее 21 односторонней дороги (из города в город ведет не более одной дороги). Также известно, что ровно 26 городов “транзитные”, то есть из них нельзя напрямую (не проезжая другие города) вернуться в тот город, из которого в них приехали. Докажите, что среди оставшихся 13 городов дорогами соединены каждый с каждым .

Решение: Заметим, что между транзитными городами существует не более 26 · 25/2 = = 325 дорог, т.к. между любыми двумя транзитными городами может быть не больше одной дороги. Поскольку из каждого города, в том числе и из транзитного, ведет не менее 21 дороги, то из транзитных в нетранзитные ведёт не менее 26 · 21 325 = 546 325 = 221 дороги .

У этих 221 дороги не существует “встречных”, т.к. это нарушало бы определение транзитности, поэтому из нетранзитных в транзитные ведёт не более 13 · 26 221 = 117 дорог. А всего из нетранзитных выходит, по условию, не менее 13 · 21 = 273 дорог .

Таким образом, из нетранзитных в нетранзитные ведет не менее 273 117 = 156 дорог, а 156 = 13 · 12, т.е. нетранзитные города соединены дорогами каждый с каждым .

8. (40 баллов) В соревнованиях по устному счёту участвовало несколько команд. Каждая команда получала одно натуральное число и должна была найти наибольший и наименьший, но не равный 1, нечётные делители этого числа. Все команды решили свои задачи правильно. При рассмотрении результатов оказалось, что полученное любой командой исходное число можно представить в виде 15M + 11m, где M наибольший, а m наименьший начётный делители. Сколько команд участвовало в соревнованиях и для каких чисел команды искали делители?

Ответ: 4 команды; 528, 880, 1232, 1936.




Похожие работы:

«ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ГОРОДА МОСКВЫ "ШКОЛА № 1130" УТВЕРЖДАЮ Директор ГБОУ Школа №1130 Д.И. Бодер ""_2016г. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА дополнительного образования детей дошкольного возраста СЕКЦИИ "РИТМИЧЕСКАЯ МОЗАЙКА" Педагог Васильева С.С. Сро...»

«Разработка эффективных проектов : Обучение через проекты учителя Анализ На пути к глубинному пониманию Ресурсы и примеры В своей Новой таксономии образовательных целей Роберт Марцано предлагает новую модель мышления о процессах, задействованных в обучении. Он выделяет три...»

«Разработка урока "Классный час: Коктейль здоровья", Начальная школа, 3 класс Разработка урока "Классный час: Коктейль здоровья", Начальная школа, 5 класс. Автор: Куликова Н.П. Цель: в игровой форме познакомить школьников с основными правилами здорового...»

«НЕНАХОВ ИЛЬЯ ГЕННАДЬЕВИЧ ПОВЫШЕНИЕ УРОВНЯ ПРОЯВЛЕНИЯ СПОСОБНОСТИ К РАВНОВЕСИЮ У СПОРТСМЕНОВ ПОСРЕДСТВОМ КОРРЕКЦИИ МЫШЕЧНО-ТОНИЧЕСКИХ АСИММЕТРИЙ 13.00.04 Теория и методика физического воспитания, спортивной тренировки, оздоровительной и адаптивной физическо...»

«Газета Муниципального автономного дошкольного образовательного учреждения "Детский сад № 2 "Радуга" Отдела образования АГО МАРТ 2016 № 3 (1) Читайте в номере: "Один день из жизни ДОУ". Интервью заведующий детского...»

«Познавательноисследовательский проект "Волшебная сила магнита" Автор проекта: Куликова О.А. Вид проекта: познавательно-исследовательский. Длительность: краткосрочный . Участники: дети подготовительной группы. Цель: познакомить с магнитом, его свойствами и использованием в медицине, технике, быту и в группе.Данная цель реализуется чере...»

«Какие игрушки необходимы детям Развитие богатого эмоционального мира ребнка немыслимо без игрушек. Именно они позволяют ребнку выразить свои чувства, исследовать окружающий мир, учат общаться и познавать себя. Вспомните свои любимые игрушки! Это не обязательно дорогие и шикарные куклы и машины. У кого-то это невзрачный мишка, пер...»







 
2019 www.librus.dobrota.biz - «Бесплатная электронная библиотека - собрание публикаций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.