WWW.LIBRUS.DOBROTA.BIZ
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - собрание публикаций
 

«Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ИМ. В. Г. БЕЛИНСКОГО ...»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

Федеральное государственное бюджетное образовательное

учреждение высшего образования

«ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ИМ. В. Г. БЕЛИНСКОГО

Факультет физико-математических Кафедра «Математическое

и естественных наук образование»

Направление подготовки 44.03.01 Педагогическое образование Профиль «Математика»

ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА

бакалаврская работа на тему:

«Использование GeoGebra при обучении школьников решению олимпиадных задач по геометрии»

Студент Белянин Павел Константинович (подпись, дата) (ФИО полностью) Руководитель Сорокина М.В .

(подпись, дата) (ФИО) Нормоконтролёр Паньженский В.И .

(подпись, дата) (ФИО) Работа допущена к защите (протокол заседания кафедры от ________________ № _____) Заведующий кафедрой Паньженский В.И .

(подпись) (ФИО) Работа защищена с оценкой __________ (протокол заседания ГЭК от ___________ № ___) Секретарь ГЭК Сурина О.П .

(подпись, дата) (ФИО) Пенза 2017 Содержание Введение.

Глава 1.

1.1. Общая характеристика олимпиадных задач по геометрии

1.2. Методические особенности решения олимпиадных задач по геометрии 8

1.3. Средства динамической геометрии. Общая характеристика GeoGebra. 18 Глава 2.

2.1. Возможности применения GeoGebra при решении олимпиадных задач различного типа.

Заключение

Список литературы

Введение .

В современности идет активная информатизация общества и образования, определяя необходимость обновления и совершенствования методики обучения математике. Особенно остро эта необходимость проявляется в отношении методики обучения геометрии, где все активнее начинают применяться системы динамической геометрии: Cabri Математический Geometre, конструктор, Живая математика, GeoGebra, Crocodile, Cinderella, GeoNext, Geometrs Sketchpad и др. Общей особенностью этих систем является возможность создания и использования для целей учебного исследования динамических чертежей - геометрических конструкций, которые можно изменять при сохранении алгоритма их построения путем задания изменений одного или нескольких геометрических величин конструкций (параметров) .

Эффективность программных продуктов этого класса в реализации исследовательского подхода к обучению геометрии сегодня уже не вызывает сомнений. Но могут ли эти системы динамической геометрии помочь в обучении школьников решению олимпиадных задач? Решение олимпиадных задач принципиально отличается от решения школьных, даже очень сложных, задач. Это обусловлено, прежде всего выбором разделов, традиционно рассматриваемых на олимпиадах. Многие разделы не рассматриваются в школьном курсе математики. В частности олимпиадные задачи по геометрии зачастую требуют нестандартного подхода .

Подготовка учащегося к участию в олимпиаде довольно трудоемкий процесс. Далеко не каждого учащегося, имеющего по предмету отличную оценку, имеет смысл направлять на олимпиаду. Дело в том, что на выполнение олимпиадного задания отводится строго определенное время, в качестве задач предлагаются не задачи базового или повышенного уровня (по школьным меркам), а задания нестандартные. Эти задания могут быть простыми по формулировке, но выходящими за рамки школьной программы .





Мы разберем различные традиционные разделы геометрии, рассматриваемые на олимпиадах при помощи средств динамической геометрии. Следует отметить, что практически все разбираемые разделы могут быть с одинаковым успехом рассмотрены на факультативных занятиях как в 5, так и в 11 классах. Конечно, подача материала будет отличаться объемом и глубиной, перечнем рассматриваемых разделов геометрии т.к они должны соответствовать изучаемому школьному курсу. Успешно участвовать в предметной олимпиаде может учащийся, знакомый со стандартными приемами решения задач, выходящих за рамки школьного курса. Определенную роль играет и скорость мышления учащегося. Целесообразно начинать подготовку «олимпиадников» в 5-7 классах.

Только при таком подходе, учащийся, попавший на олимпиаду в 8-9 классах, будет чувствовать себя уверенно:

скажется опыт решения нестандартных задач, накопленный за несколько лет .

Все вышесказанное определило актуальность выбранной темы:

«Использование GeoGebra при обучении школьников решению олимпиадных задач по геометрии»

Объект исследования – процесс обучения олимпиадным задачам по геометрии учащихся основной школы .

Предмет исследования – обучение учащихся основной школы доказательству теорем и поиску нестандартных подходов при рассмотрении олимпиадных задач по геометрии с использованием системы динамической геометрии GeoGebra Цель исследования – показать возможности применения системы динамической геометрии GeoGebra, при обучении решению нестандартных задач по геометрии учащихся основной школы .

Для достижения поставленной цели необходимо решить ряд задач исследования:

Уточнить содержание средств DGS; отобрать программные 1 .

средства, поддерживающие все виды компьютерных операций, необходимых для реализации методики работы с олимпиадными задачами .

Разработать модель поэтапного формирования умений, связанных с 2 .

проведением доказательства теорем при решении олимпиадных задач по геометрии учащихся основной школы с использованием GeoGebra .

Осуществить подбор задач, на примере которых возможна 3 .

интеграция в учебный процесс средств динамической геометрии .

Работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы .

В первой главе рассмотрены теоретические аспекты изучаемой темы, приведена характеристика олимпиадных задач разного типа. Поведен анализ возможностей использования в учебном процессе некоторых программных средств, дана историческая справка. Во второй главе представлены методические разработки использования системы динамической геометрии GeoGebra при работе с олимпиадными задачами по планиметрии .

Глава 1 .

Общая характеристика олимпиадных задач по геометрии 1.1 .

Олимпиадные задачи по геометрии приобрели своё наименование от широкоизвестных школьных состязаний, так называемых геометрических олимпиад .

Олимпиадные задачи нередко сильно отличаются от обычных школьных задач, ведь в основном решение таких задач нестандартно и требует углубленных знаний учащихся. Создание задач этой категории — воспитание в будущих математиках таких качеств как нетривиальное мышление, творческий подход и способность исследовать проблему с разных сторон. Внешняя простота олимпиадных задач обманчива. Их условия должны быть понятны любому школьнику, но решить такие задачи зачастую может лишь ученик, обладающий углубленным знанием материала, смекалкой и, конечно же, применяющий самые нестандартные методы решения для получения ответа .

Лучшие олимпиадные задачи касаются глубоких проблем из самых разных областей геометрии и требуют высокого уровня подготовки .

Умение решать олимпиадные задачи по геометрии может дать школьникам определенное преимущество среди сверстников, ведь победители олимпиад обладают льготами при поступлении во многие ВУЗы .

Решение олимпиадных задач может потребовать существенного количества времени даже от сильного (но ненатренированного на их решение) профессионального математика .

Олимпиадные задачи можно найти как в Сети интернет, так и в виде отдельных пособий. Они широко используются в работе математических кружков, заочных школ и для таких математических соревнований как олимпиады, турниры городов и математические бои .

Среди олимпиадных задач встречаются как стандартные задачи, которые можно решить оригинальным способом, так и нетривиальные задачи, для решения которых требуются необычные идеи и специальные методы .

Почти в любой олимпиадной работе по математике попадается, как минимум, одна задача по геометрии. И именно геометрические олимпиадные задачи вызывают наибольшие трудности у участников. При этом можно утверждать, что как раз геометрия лучше всего развивает и формирует нестандартное мышление и помогает выделить математически одаренных и талантливых людей .

Геометрические олимпиадные задачи весьма многообразны. Это и задачи на разрезание, и на построение и нахождение углов. Однако чаще всего попадаются задачи, которые используют в своем решении какую-то необычную идею, как правило, дополнительное построение. В отличие от алгебры, в геометрии почти нет стандартных задач, решающихся по образцам. Почти любая геометрическая задача требует "индивидуального" подхода, четкости и последовательности в рассуждениях, понимания логических связей между различными этапами решения задачи. Говоря о способах решения геометрических задач, необходимо выделить некоторые особенности этих методов: большое разнообразие, взаимозаменяемость, трудность формального описания, отсутствие четких границ области применения. Помимо этого, очень часто при решении некоторых достаточно сложных задач приходится обращаться к применению комбинаций методов и приемов .

Методические особенности решения олимпиадных задач по 1.2 .

геометрии Решение олимпиадных задач служит хорошей подготовкой к будущей научной деятельности, заостряет интеллект. Эти задачи, интересные и сами по себе, служат материалом для описания ряда общематематических идей решения задач. Опишем классические идеи решения олимпиадных задач. К этим идеям подобраны примеры решения задач и задачи для самостоятельного решения .

Сложность задач различна. Для решения некоторых из них достаточно смекалки, логики и пространственного воображения. Другие задачи требуют некоторого опыта, интуиции и наблюдательности. Чтобы решить наиболее трудные задачи важно владеть умением организовать работу над задачей (прояснить ситуацию, выявить круг идей, подобрать удобный «язык») и, быть может даже, пользоваться нестандартными приемами решения .

При работе с детьми, нужно познакомить их с основными, важными моментами, на которые необходимо обратить внимание при решении олимпиадных задач. Рассмотрим несколько основных пунктов, которые помогут выделить основные этапы при решении геометрических олимпиадных задач .

1. Условие задачи должно быть прочитано максимально внимательно .

Также необходимо проверить условие задачи на правдоподобность .

Пример. Определите площадь треугольника со сторонами 27, 56 и 28 см .

Ясно, что треугольника с такими сторонами не может существовать, поскольку не выполняется неравенство треугольника. Задача решения не имеет .

2. При решении задачи нужно рассмотреть все возможные варианты постановки задачи .

Пример. Предположим, задача начинается со слов «В произвольном треугольнике». Так как по условию задачи не обозначено, какой именно треугольник имеется ввиду, задача будет решена полностью только при разборе случаев прямоугольного, остроугольного и тупоугольного треугольников. В случае рассмотрения частного случая (например, рассматривался равносторонний треугольник), при отсутствии ошибки в решении, задача может быть оценена проверяющими не более чем в 1/3 баллов от общей «стоимости» задачи .

3. Важно проверить правдоподобность результатов, которые мы получили в ходе решения. После написания олимпиадной работы внимательно нужно ее перечитать. Очень часто в ответе можно увидеть, что полученный многоугольник, одновременно является и выпуклым, и вогнутым, и т д

4. Зачастую в олимпиадных задачах описывается определенная система, которая может находиться в различных состояниях, и набор допустимых преобразований, меняющих эти состояния, и спрашивается, можно ли из одного данного состояния перейти в другое. Для доказательства достаточно привести любой пример, показывающий, как можно осуществить такое преобразование, если ответ положителен. Если же ответ отрицательный, то необходимо доказать, что как бы мы ни производили допустимые преобразования, мы никогда не сможем получить требуемого состояния, рассматривая все случаи. Один из возможных способов доказательства этого состоит в нахождении такой величины, определенной для всех возможных состояний, которая не меняется при допустимых преобразованиях. Такая величина называется инвариантом. Если существует инвариант, который может принимать различные значения для начального и конечного состояния, то, очевидно, что преобразовать начальное состояние в конечное с помощью допустимых преобразований нельзя .

Проанализируем ключевые идеи и методы решения задач:

Поиск родственных задач .

1 .

В задачах высокого уровня сложности часто не удается сразу увидеть рациональный ход решения. В таких ситуациях необходимо найти и решить задачу более простого плана, так сказать «родственную» задачу. Данная замена зачастую помогает найти верный подход к исходной задаче.

Для этого метода характерно:

проанализировать частный (более простой) «родственный» случай и обобщить идею решения;

разделить задачу на подзадачи (например, необходимость и достаточность);

обобщить задачу (например, заменить конкретное число переменной);

свести задачу к более простой Причёсывание задач (или «можно полагать, что... ») 2 .

При решении задач, можно условно выделить 2 типа математиков:

некультурный, решающий задачу как придётся, и культурный, который сначала «приготовит» задачу, т. е. приведет её к удобному для решения виду .

Приготовление задачи - это переформулировка условия на более удобный язык, отсечение простых случаев, сведение общего случая к частному. Такие преобразования, зачастую, сопровождаются фразами «в силу симметрии», «явно не хуже», «для определённости», «не нарушая общности», «можно считать, что...»

Доказательство от противного .

3 .

При использовании этого метода рассуждают: «Предположим, что исходное утверждение неверно. Если из этого получим противоречие, то это будет означать, что исходное утверждение верно» .

Чётность 4 .

Большинство задач в математике решаются достаточно просто, при условии, что некоторая величина в задаче обладает определенной четностью .

Данный факт предполагает, что ситуации, где эта величина имеет другую чётность, невозможны. Очень часто эту величину (функцию) надо заранее смоделировать, например, рассмотреть чётность суммы или произведения, разбить объекты на пары, увидеть чередование состояний, раскрасить объекты в два цвета. Чётность в играх представляет собой возможность сохранения чётности некоторой величины при своем ходе .

Обратный ход 5 .

Если в задаче задана некоторая операция, и эта операция обратима, то можно сделать «обратный ход» от конечного результата к исходным данным .

Например, надо вынести шкаф из комнаты. Пройдёт ли он через дверь?

Пройдёт, потому что через дверь его внесли. Анализ с конца используется в играх при поиске выигрышных и проигрышных ситуаций .

Подсчёт двумя способами 6 .

Составляя уравнения, определенные величины выражают двумя способами (например, площадь, путь или время). Таким образом, величинам дают оценку сразу двумя методами: получают или неравенство, или величины различной чётности. Концепция инварианта тесно связана с данной мыслью .

Она иногда приводит к противоречию .

Соответствие 7 .

Предположим, что между двумя множествами установлено взаимно однозначное соответствие. Это означает, что каждому элементу первого множества поставлен в соответствие элемент второго множества, при этом каждый элемент второго множества соответствует ровно одному элементу первого множества. Иначе говоря, мы разбили элементы обоих множеств на пары, причём в каждую пару входит по элементу из каждого множества. В случае если между двумя конечными множествами установлено взаимооднозначное соответствие, то можно говорить, что они содержат равное количество элементов, даже если пересчитать элементы этих множеств мы не можем. Если же мы установили соответствие между всеми элементами одного множества и частью элементов другого множества, то количество элементов в первом множестве меньше, чем во втором .

Графы 8 .

Во многих ситуациях практично представлять объекты точками, а взаимосвязи между ними линиями или стрелками. Такого рода метод представления называется графом. Например, схема метрополитена это граф .

Точки называют вершинами графа, а линии ребрами. Вершину называют чётной, если из неё выходит чётное количество рёбер и нечётной в обратном случае. Граф называют связным, если среди всевозможными вершинами существует путь, состоящий из рёбер графа, ориентированным - если на каждом ребре указано направление, плоским если он изображен на плоскости и его ребра не пересекаются (во внутренних точках).

При решении множества олимпиадных задач используются следующие утверждения, относящиеся к рёбрам и вершинам графа:

Если в графе больше двух нечётных вершин, то его правильный обход (т. е. обход, при котором каждое ребро проходится ровно один раз) неосуществим;

Для всякого чётного связного графа существует правильный обход, который можно начать с любой вершины и который обязательно кончается в той же вершине, с которой начался;

Если в связном графе ровно две нечётные вершины, то существует правильный обход, причём в одной из них он начинается, а в другой кончается;

В любом графе количество нечётных вершин чётно .

Инварианты 9 .

Инвариант это величина, которая не меняется вследствие определенных операций (например, разрезание и перемещение частей фигур не изменяет суммарной площади). В случае если инвариант различает два положения, то от одного нельзя перейти к другому. В качестве инварианта может применяться раскраска. Полуинвариант это величина, изменяющаяся только лишь в одну сторону (т. е. которая способна только увеличиваться или только уменьшаться) .

Понятие полуинварианта зачастую применяется при доказательствах остановки действий или процессов .

Метод крайнего 10 .

Особые, крайние объекты часто предназначаются для поиска решения .

Таким образом, к примеру, оценивают наибольшее число, ближайшую точку, угловую точку, вырожденную окружность, предельный случай. По этой причине целесообразно сразу рассматривать особые, крайние объекты.

В задачах на метод крайнего функционирует метод минимального контрпримера:

предположим, утверждение задачи ошибочно. В таком случае существует минимальный в определенном значении контрпример. И если окажется, что его можно ещё уменьшить, то можно сказать, что мы нашли искомое противоречие .

Принцип Дирихле 11 .

В простом виде его выражают так: «Если десять зайцев сидят в девяти клетках, то в таком случае в определенной клетке находятся не меньше двух» .

Общее определение: «Если n зайцев находятся в k клетках, то отыщется клетка, в которой находятся не меньше чем n/k зайцев, и найдётся клетка, в которой находятся не больше чем n/k зайцев». Получение дроби – обычный случай. На самом деле, то что в клетке не меньше 10/9 зайцев, значит, не меньше двух .

Доказательство принципа Дирихле простое, однако заслуживает внимания, так как похожие рассуждения часто встречаются. Предположим, что в каждой клетке находятся меньше чем n/k зайцев. В таком случае во всех клетках вместе зайцев меньше чем n/k · k = n, что и является противоречием. Принцип Дирихле может показаться простым на первый взгляд, но, для того чтобы его использовать, бывает не просто понять, что считать зайцами, а что клетками .

Понимая принцип Дирихле, можно догадаться, в каких случаях его использовать. К примеру, в случае если каждому элементу множества A соответствует ровно один элемент множества B, в таком случае элементы A можно назвать зайцами, а элементы B клетками. Принцип Дирихле бывает непрерывным: «Если n зайцев съели m кг клевера, таким образом один из зайцев съел не меньше m/n кг и другой съел не больше m/n кг». Отметим, что в заключительной формулировке зайцы играют роль клеток для клевера, а клевер роль зайцев, сидящих в клетках .

Индукция 12 .

Метод доказательства утверждений вида: «Для каждого натурального n верно, что... ». Подобное утверждение можно расценивать как цепочку утверждений: «Для n = 1 верно, что... », «Для n = 2 верно, что... » и т. д. Первое утверждение цепочки называется базой (или основанием) индукции. Его как правило легко проверить. Потом обосновывается шаг индукции: «Если верно утверждение с номером n, то верно утверждение с номером (n+1)». Шаг индукции кроме того можно расценивать как цепочку переходов: «Если верно утверждение 1, то верно утверждение 2». «Если верно утверждение 2, то верно утверждение 3» и т. д. Если база индукции верна, и верен шаг индукции, то все утверждения верны (это и есть принцип математической индукции). В некоторых случаях с целью доказательства очередного утверждения цепочки надо опираться на все предшествующие утверждения. В таком случае индуктивный переход звучит так: «Если верны все утверждения с номерами от 1 до n, то верно утверждение с номером (n + 1)». Случается удобный индуктивный спуск если утверждение с номером n (n 1) можно свести к одному или нескольким утверждениям с меньшими номерами и первое утверждение верно, то все утверждения верны .

Делимость и остатки 13 .

Если числа a и b дают одинаковые остатки при делении на число m, то говорят, что a сравнимо с b по модулю m и записывают a b (mod m) Два числа a и b сравнимы по модулю m тогда и только тогда, если их разность делится на m. Делимость и остатки можно складывать и умножать. Если a b (mod m) и c d (mod m), n | любое целое положительное число, то a+c b+d (mod m), ac bd (mod m) и a n b n (mod m). Так определяется арифметика остатков или арифметика вычетов. Если m = 10 приведённое утверждение особенно наглядно: для того чтобы найти последнюю цифру десятичной записи суммы (произведения), достаточно сложить (перемножить) последние цифры слагаемых (сомножителей) и взять последнюю цифру результата. Остаток может выступать в роли инварианта (к примеру, остаток от деления на 3 в задачах про сумму цифр) .

Алгоритм Евклида 14 .

Алгоритм Евклида дает возможность найти наибольший общий делитель чисел, решать линейные уравнения в целых числах. Суть алгоритма заключается в следующем: «Если при делении числа a на b получается остаток r, то НОД(a; b) = НОД(b; r)». Использование данного метода заключается в последовательном делении с остатком. Сначала мы делим большее из двух чисел на меньшее. На каждом следующем шагу мы делим число, которое на предыдущем шагу было делителем, на число, которое на предыдущем шагу было остатком. Так поступаем до тех пор, пока не получим нулевой остаток .

Это непременно произойдёт через конечное число шагов, так как остатки всё время уменьшаются. Последний ненулевой остаток и будет наибольшим общим делителем исходных чисел. Подчеркнем, что данный алгоритм может быть применён для нахождения наибольшего общего делителя не только чисел, но еще и многочленов .

Покрытия, упаковки и замощения 15 .

Если объединение некоторых фигур содержит данную фигуру F, то говорят, что эти фигуры образуют покрытие фигуры F. При этом покрывающие фигуры могут пересекаться. Упаковка это размещение внутри данной фигуры нескольких фигур, не имеющих общих точек, кроме, быть может, граничных. В некоторых задачах фигура разрезается на меньшие части (например, на две одинаковые), либо напротив, из нескольких данных фигур составляется одна большая. Это задачи на разрезание или замощение. Замощение считается одновременно и покрытием и упаковкой .

Раскраски 16 .

Говорят, что фигура покрашена в несколько цветов, если каждой точке фигуры приписан определённый цвет. Встречаются задачи, где раскраска уже дана, например, для шахматной доски, есть задачи, где раскраску с определенными свойствами нужно придумать, и существуют задачи, в которых раскраска используется как идея решения .

Игры 17 .

Под понятием математической игры мы подразумеваем игру двух соперников, обладающую конкретным свойством. В любой момент игры состояние характеризуется позицией, которая может меняться только в зависимости от ходов игроков .

Для каждого из игроков определенные позиции в игре объявляются выигрышными. Добиться выигрышной для себя позиции задача каждого игрока. В некоторых случаях игры допускают ничью. Это значит, что никто не может добиться выигрышной для него позиции, или некоторые позиции объявлены ничейными. К примеру, шахматы, шашки, крестики-нолики являются математическими играми, а игры в кости, домино, большинство карточных игр математическими играми не являются, таким образом, состояние игры зависит не только от ходов соперника, но и от расклада или результата бросания кости. В математических играх существуют понятия выигрышной стратегии, т. е. набора инструкций (или алгоритма), следуя которому, один из игроков обязательно выиграет (не зависимо от того, как играет его соперник), и ничейной стратегии, следуя которой один из игроков обязательно добьётся либо выигрыша, либо ничьей. В каждой математической игре имеется либо выигрышная стратегия для одного из игроков, либо ничейные стратегии для обоих (в случае если игра допускает ничью). В зависимости от этого игра называется выигрышной для первого или второго игрока, или ничейной. Очередная позиция является выигрышной, в случае если из неё можно получить ранее определённую проигрышную позицию, и является проигрышной, если любой ход из неё ведёт к попаданию в ранее определённую выигрышную позицию. Если мы можем использовать стратегию противника, то наши дела не хуже чем у него. Например, выигрыш (или ничья) обеспечивается, когда можно по своему желанию попасть в некоторую позицию либо заставить противника попасть в неё .

Процессы и операции 18 .

При решении многих олимпиадных задач организуют процессы. Бывают процессы построения нужного объекта, «причесывания задачи», последовательного улучшения некоторой величины и другие. Отметим, что спуск и индукция тоже являются процессами .

Каждый из этих способов в различных олимпиадных задачах имеет свое место. Нельзя выделить какой-то один универсальный, по принципу которого можно решать все задачи, но вместе они создают систему, позволяющую с разных сторон рассматривать эти уникальные задачи и находить точный способ решения .

Средства динамической геометрии. Общая характеристика 1.3 .

GeoGebra Система динамической геометрии (DGS) – это программное обеспечение, позволяющее осуществлять геометрические построения на компьютере таким способом, что при изменении одного из геометрических объектов чертежа остальные также изменяются, сохраняя заданные между собой соотношения неизменными. Идея, лежащая в основе таких программ, состоит в том, что любой геометрический чертеж получается в результате применения к некоторым данным – точкам, линиям, числовым параметрам (таким, как длина отрезка или величина угла) некоторой последовательности построений – в простейшем случае, традиционных построений циркулем и линейкой. Другими словами, это результат применения к данным некоторого алгоритма построения, использующего конкретный набор операций. Именно этот чертеж-результат и является продуктом «обычных»

систем компьютерной графики. В отличие от него, чертеж, созданный в среде динамической геометрии, — это модель, сохраняющая не только результат построения, но и исходные сведения и алгоритм. При этом все данные легкодоступны с целью изменения (можно перемещать мышью точки, варьировать данные отрезки, вводить с клавиатуры новые значения числовых данных и т. п.). И результат этих изменений здесь же, в динамике, сразу виден на экране компьютера. Добавим к этому расширенный комплект инструментов построений (включающий, к примеру, геометрические преобразования), возможности оформления чертежа (стиль линий, цвет), возможность анимации — автоматического перемещения точек, и мы получим представление об основных возможностях, предоставляемых типичной средой динамической геометрии .

Прототипом современных DGS следует считать первую графическую станцию Sketchpad, созданную в 1963 году американским ученым в области информатики Иваном Сазерлендом. Sketchpad позволяла вводить ограничения и задавать взаимосвязи между сегментами и дугами. С ее помощью можно было рисовать горизонтальные и вертикальные линии и комбинировать их в различные фигуры. Их можно было копировать, перемещать, поворачивать или масштабировать, сохраняя их основные свойства. В частности, отмечалось, что в большом числе западных стран предполагается изучать в школьном курсе математики элементы теории множеств и математической логики, понятия современной алгебры (группы, кольца, поля, векторы), начала теории вероятности и математической статистики. Предлагалось также сократить или даже исключить из школьного курса математики ряд традиционных разделов. В частности, существенному сокращению предлагалось подвергнуть курс элементарной геометрии. Вскоре с целью создания среды поддержки научной работы и образовательной деятельности с объектами дискретной математики появилась Cabri (Cahier de B Rouillon Informatique, по-русски, «Черновик для информатики»). Однако в процессе реализации этого проекта возникла идея обобщения возможностей Cabri. Она должна была обеспечить возможность замены доски и мела, бумаги и ручки компьютером. На этой основе было решено создать версию программы, позволяющей получать динамические образы геометрических объектов и использовать их для экспериментального обучения – Cabri Gomtre. Идея создания программы Cabri Gomtre явилась своего рода реакцией на распространившийся в стране формализм в преподавании геометрии. Несмотря на то, что в тот период компьютерная графика уже добилась значительных результатов, использование программы в образовательных целях было весьма ограниченным, так как учебные заведения были, в основном, оснащены терминалами, связанными с Центральной ЭВМ .

По-настоящему возможности программы открылись с появлением персональных компьютеров и операционных систем с графическим интерфейсом. В 1988 году первая версия Cabri - geometre была замечена компанией Apple .

Следствием этого стало массовое использование данного программного продукта при обучении геометрии. Несмотря на то, что данный программный продукт не русифицирован, возможности Cabri были по достоинству оценены и в России. Одним из недостатков Cabri – geometre является невозможность аналитического задания геометрических объектов, а также сбора и обработки статистических данных, что значительно ограничивает возможности проведения конструктивных и численных разведочных экспериментов .

Параллельно с развитием Cabri разрабатывалась и аналогичная программа The Geometrs Sketchpad («Блокнот геометра»). Ее первая версия появилась в 1989 году. В 2005 году программа The Geometer’s Sketchpad русифицирована Институтом новых технологий (г. Москва). В России она распространялась сначала под названием «Живая геометрия», что подчеркивало возможность создания в данной среде динамических моделей геометрических объектов, затем название программы было изменено. Сейчас она называется «Живая математика», что говорит о расширении области ее использования, о усилении возможностей аналитического задания геометрических объектов и построении геометрических интерпретаций объектов иной природы. Данная DGS позволяет осуществлять построение геометрических мест точек по их уравнениям, однако четко разделяет алгебраически и геометрически заданные объекты, не позволяя создавать из них общую геометрическую конфигурацию, варьировать способ задания и описания построенного объекта. Данная программа позволяет заносить данные компьютерного эксперимента в электронную таблицу, но не снабжена средствами статистического анализа этих данных. Программа снабжена простым и удобным в использовании инструментом для ведения записей в графическом окне, однако в нем не предусмотрены средства для создания динамических текстов. Эта особенность программы значительно сужает спектр контрольных экспериментов на проверку справедливости метрических соотношений. Русифицированными являются также DGS GeoNext, разрабатываемая с 1999 года, и GeoGebra, первая версия которой появилась в 2002 году. Ограничения программы GeoNext связаны с тем, что в ней количество измерительных инструментов весьма ограничено .

Программа GeoGebra обладает всеми достоинствами «Живой математики» за исключением простоты работы инструментов по созданию текстов. Однако этот недостаток компенсируется возможностями получения динамических записей, сочетанием и варьированием разных способов задания геометрических объектов и наличием встроенных инструментов статистического анализа данных. Кроме того, в GeoGebra предусмотрены возможности вывода протокола построения динамической модели и отслеживания конструктивных связей элементов динамического чертежа, что является очень важным условием для обоснования корректности динамической модели .

Собственной разработкой российских программистов является «Математический конструктор». Создатель этой программы - фирма 1С. Первая версия её была выпущена в 2006 г. Главным отличием от остальных DGS является ориентация программы не на учащихся, а на учителей, а также подготовленных специалистов, которые занимаются созданием электронных образовательных ресурсов, часто называемых манипуляторами. Программа обладает большим спектром инструментов для построения виртуальных динамических моделей геометрических фигур, графиков функций и проведения компьютерных экспериментов. Единственным ограничением является невозможность записи экспериментальных данных в электронную таблицу и проведения их статистического анализа. Проведенное нами сравнение различных DGS показывает, что наибольшими возможностями для проведения компьютерных экспериментов при изучении теорем и решения задач на доказательство обладает GeoGebra, т.к. поддерживает все необходимые их виды. Данный программный продукт пользуется наибольшей популярностью, т.к. переведен более чем на 50 языков и является свободно распространяемым .

Также данная DGS - кроссплатформенная (Windows, Linux, Mac OS, и др.) и подходит для всех уровней образования: от начальной школы до высшей .

Сегодня в её совершенствовании может принимать участие любой желающий, т.к. она обладает открытым программным кодом. GeoGebra написана на языке Java, поддерживает 2D и 3D версии, имеется портативная версия. Программа получила несколько наград в области образовательного программного обеспечения в Европе и США .

Итак, GeoGebra — это динамическая математическая программа для всех уровней образования, включающая в себя геометрию, алгебру, таблицы, графы, статистику и арифметику, в одном удобном для использования пакете .

Кроме того, у программы богатые возможности работы с функциями (построение графиков, вычисление корней, экстремумов, интегралов и т.д.) за счёт команд встроенного языка (который, кстати, позволяет управлять и геометрическими построениями) Программа написана Маркусом Хохенвартером на языке Java (работает на большом числе операционных систем). Переведена на 39 языков и в настоящее время активно разрабатывается. Полностью поддерживает русский язык .

Возможности GeaGebra:

Построение кривых:

Построение графиков функций y=f(x);

1 .

Построение кривых, заданных параметрически в декартовой 2 .

системе координат x=f(t), y=g(t);

Построение конических сечений:

3 .

Коника произвольного вида — по пяти точкам .

Окружность (по центру и точке на ней, по центру и радиусу, по трем точкам);

Эллипс — по двум Фокусам и точке на кривой;

Парабола — по фокусу и директрисе;

Гипербола — по двум фокусам и точке на кривой .

Построение геометрического места точек, зависящих от положения 4 .

некоторой другой точки, принадлежащей какой-либо кривой или многоугольнику (инструмент Локус) .

Вычисления:

Действия с матрицами:

1 .

Сложение, умножение;

Транспонирование, инвертирование;

Вычисление определителя;

Вычисления с комплексными числами;

2 .

Нахождение точек пересечения кривых;

3 .

Статистические функции:

4 .

Вычисление математического ожидания, дисперсии;

Вычисление коэффициента корреляции;

Аппроксимация множества точек кривой заданного вида:

5 .

полином, экспонента, логарифм, синусоида Глава 2 .

2.1. Возможности применения GeoGebra при решении олимпиадных задач различного типа .

Одной из принципиальных трудностей при отыскании пути решения олимпиадной задачи по геометрии является неумение детей определять геометрические инварианты, исходя из условия задачи. Учащиеся, как правило, не могут понять, является ли условие задачи полным, т.е. определена ли конструкция однозначно или речь идет о совокупности геометрических фигур, объединенных некоторым свойством. При построении чертежа на бумаге ребенок делает статичный рисунок, который не всегда с первого раза дается выполнить верно. Поэтому либо приходится переделывать чертеж, либо решение задачи ребенком будет осуществлено неверно, т.к. увидеть ошибку самому ученику довольно сложно .

Задача учителя состоит в том, чтобы на этапе анализа условия обратить внимание на то, что возможна ситуация, когда требование задачи не зависит от некоторых данных в условии или они вообще не известны. Таким образом, конфигурация описывает целый класс объектов, но для которых условие задачи выполнено. Средства динамической геометрии дают возможность продемонстрировать на этапе пути поиска решения задачи вариативность или инвариантность геометрических характеристик объекта. В работе продемонстрирована возможность применения GeoGebra при построении чертежа, иллюстрации решения, а так же для поиска решения задачи .

В каждой из нижеприведенных задач рассматривается условие, дается полное математическое решение. Далее мы указываем на моменты, которые могут вызвать трудности у учащихся, и предлагаем некие рекомендации по использованию GeoGebra .

Задача 1 .

На катетах AC и BC прямоугольного треугольника ABC как на диаметрах построены окружности, второй раз пересекающиеся в точке M. Точка Q лежит на меньшей дуге MB окружности с диаметром BC. Прямая CQ второй раз пересекает окружность с диаметром AC в точке P .

Докажите, что прямые PM и QM перпендикулярны .

Доказательство:

Т.к AC и BC – 1 .

диаметры соответствующих окружностей, то треугольники AMC и BMC прямоугольные .

AMB = 180, что 2 .

означает, что M AB .

Развернутый угол 3 .

180 равен, поэтому: QPM = 180 - CPM Т.к. углы 4 .

окружности d опираются на одну хорду MC: 180 - CPM = MAC Т.к. сумма углов треугольника = 180, то: MAC = 90 - MBC 5 .

Т.к. углы окружности c опираются на одну хорду MC: MBC = 6 .

MQC MQC = MQP, 7 .

90 - MQP = PMQ 8 .

Т.к. сумма углов треугольника = 180, то PMQ = 90 .

9 .

Данная задача является олимпиадной задачей для 8 класса. При ее решении не требуется никаких вычислений. Необходимо знание понятия описанной окружности, свойства углов, вписанных в окружность, четырехугольников, вписанных в окружность. В частности, нужно знать факт того, что углы, вписанные в окружность и опирающиеся на диаметр, прямые .

Все указанные теоремы изучаются в курсе геометрии 8 класса. Задача достаточно сложная. Конструкция содержит много геометрических фигур, построение которых на бумаге выполняется тяжело, при отсутствии циркуля .

Если чертеж выполнен верно то возникают трудности, связанные с неумением учащихся выделять элементы чертежа, необходимые на конкретном этапе решения .

При выполнении чертежа к данной задаче основной трудностью является то, что необходимо провести анализ положения точки M: при построении окружностей действительно ли M будет находиться на гипотенузе AB? Если ребенок этого не замечает, то дальнейших продвижений в решении не будет .

Следующий момент, на который следует обратить внимание: зависит ли ответ от изменения числовых значений и соотношений катетов прямоугольного треугольника? Ученик может случайно изобразить равнобедренный треугольник и в процессе решения доказывать только частный случай. При использовании GeoGebra очень хорошо можно продемонстрировать и положение точки M (затем обязательно нужно направить учащихся на доказательство факта принадлежности точки M отрезку AB), и независимость утверждения задачи от соотношения катетов и положения точки Q. Однако это возможно только при условии правильного алгоритма построения конфигурации в программе. Поэтому приведем поэтапное выполнение чертежа .

Построение:

Строим произвольный треугольник ABC, C=90. Для этого 1 .

необходимо выполнить следующие действия:

Строим точку C. Необходимо на панели найти инструмент «Точка », выбрать его и использовать его на рабочем полотне (изначально, по умолчанию, точка называется A, но, используя панель объектов справа, мы можем ее переименовать) .

Через точку C проводим луч f. Для этого необходимо найти инструмент «Луч », выбрать его, применить на точку C и выбрать направление луча, задав тем самым дополнительную точку, которую назовем B1 .

Через точку C проведем прямую g перпендикулярную лучу f. Для этого нам необходимо найти инструмент «Перпендикулярная прямая », выбрать его и применить на точку C и луч f .

Строим луч h, являющийся частью прямой g, ограниченной точкой

–  –  –

этого выбираем «Точка », наводим на лучи и получаем точки A и B. Лучи f и h, а так же направляющие точки A1 и B1 нам более не понадобятся, поэтому можем их скрыть .

Строим отрезки AB, BC, AC. Для этого нам понадобится

–  –  –

точках, на полотне появится отрезок. Названия отрезков можно скрыть, они нам не понадобятся, т.к. отрезки в разборе данной задачи мы обозначаем через концы отрезка .

Построив все отрезки, мы получим треугольник ABC. Для чего нам такие долгие построения с множеством скрытых деталей? Все дело в том, что мы получили уже динамичный рисунок, в котором, при помощи кнопки «Перемещать », мы можем передвигать точки по полотну, но при этом сохранится C = 90. Для того что бы это увидеть мы можем использовать

–  –  –

«Перемещать », мы можем передвигать вершины треугольника и проверить это утверждение .

Строим произвольно точку Q на меньшей дуге MB окружности c:

3 .

Строим дугу MB окружности c. Для этого выбираем инструмент

–  –  –

помощи инструмента «Перемещать » прямой угол QPM остается прямым .

После анализа проведенных построений необходимо обязательно требовать выполнения чертежа на бумаге и строгого математического доказательства .

Выполненное изображение можно использовать и в процессе решения, когда необходимо обратить внимание учащихся на определенные участки конструкции. Например, при установлении факта того, что MQP = ABC, необходимо рассматривать их как углы, опирающиеся на одну хорду MC окружности c. Мы могли бы, используя возможности программы, помочь детям увидеть это, скрыв на чертеже окружность d, отрезок AC, и другие объекты мешающие восприятию чертежа .

–  –  –

Доказательство:

Обозначим через O центр треугольника ABC .

1 .

Пусть касается отрезков BQ, QP и PC в точках K, 2 .

L и M соответственно .

В силу симметрии равностороннего треугольника 3 .

прямые BO и CO проходят через точки M и K соответственно .

Найдем пересечение луча LO и окружности. Полученную точку 4 .

обозначим X. Очевидно, что XO = OA .

Точки M и L являются касательными окружности. Отсюда 5 .

следует, что PL = MP. LO = MO т.к. являются радиусами окружности. OP – общая. Исходя из этого, можем заметить, что треугольники LPO и MPO равны .

Если треугольники LPO и MPO равны, то их высоты тоже равны, а 6 .

значит точки L и M равноудалены от прямой PO .

Отрезки LX и MB так же симметричны относительно прямой PO, а 7 .

значит, PX = PB, то есть точка X лежит на окружности b .

Точки K и L являются касательными окружности. Отсюда 8 .

следует, что KQ = LQ. LO = MO т.к. являются радиусами окружности. OP – общая. Исходя из этого, можем заметить, что треугольники LPO и MPO равны .

Если треугольники LPO и MPO равны, то их высоты тоже равны, а 9 .

значит точки L и M равноудалены от прямой PO .

Отрезки LX и MB так же симметричны относительно прямой PO, а 10 .

значит, PX = PB, то есть точка X лежит на окружности c .

Представленная задача имеет достаточно высокий уровень сложности .

Как правило, геометрические задачи на доказательство принадлежности точки некоторому множеству или совпадения некоторых точечных множеств вызывают у учащихся серьезные трудности. Это связано с плохим пониманием детьми самой сути поставленной задачи, необходимостью переформулировки вопроса задачи к новому требованию, которое зависит от конкретного примера, т.е. в такой задаче нет общего алгоритма. Можно отметить, что только метод от противного является универсальном в таком случае .

При решении данной задачи не требуется никаких вычислений .

Ключевым моментом решения является идея того, что искомая точка это точка лежащая на луче LO. Прийти к этой мысли помогает правильно выполненный чертеж. Необходимо знание свойств равностороннего треугольника. Кроме того, нужно знать факт того, что отрезки, являющиеся радиусами окружностей, симметричны, относительно биссектрисы угла, образованными этими радиусами. Все указанные элементы построения предельно просты в понимании, но чтобы грамотно обосновать их положение, требуется смекалка .

Конструкция содержит много геометрических фигур, построение которых на бумаге выполняется тяжело, при отсутствии циркуля .

При выполнении чертежа к данной задаче основной трудностью является то, что необходимо провести анализ положения точки X: при построении окружностей действительно ли X будет находиться на всех окружностях, b и c? При использовании GeoGebra очень точно можно продемонстрировать и положение точки X, и независимость утверждения задачи от соотношения сторон равностороннего треугольника и положения точки L. Однако это возможно только при условии правильного алгоритма построения конфигурации в GeoGebra. Приведем поэтапное выполнение чертежа .

Построение:

Строим равносторонний треугольник .

1 .

Начнем построение чертежа с равностороннего треугольника. Для того что бы построить правильный многоугольник (в нашем случае треугольник) используем на панели инструмент «Правильный

–  –  –

На этом этапе стоит отметить, что полученный треугольник динамичен в чертеже. При передвижении положения вершин A или B, вершина C будет так же менять свое положение, причем треугольник ABC всегда будет оставаться равносторонним .

Строим окружность, вписанную в треугольник ABC .

2 .

Строим срединные перпендикуляры отрезов AB и AC. Для этого

–  –  –

Относительно третьего и четвертого этапа построения чертежа в GeoGebra можем сказать, что при изменении положения и длин отрезков равностороннего треугольника ABC, что вписанная, что описанная окружности будут оставаться таковыми, меняя свой радиус и положение точек центров окружностей .

Строим точки P и Q на отрезках AB и AC соответственно так, 4 .

чтобы отрезок их соединяющий касался окружности .

Строим точку L (точку касания) на окружности. Для этого нам

–  –  –

Используя инструмент «Касательная », выделив окружность, а последующим действием и точку L, получим касательную n .

Строим точки P и Q, являющиеся пересечением касательной n и сторон AB и AC треугольника ABC. Для этого воспользуемся

–  –  –

На чертеже GeoGebra необходимо дополнительно прояснить некоторый аспект, появляющийся при построении динамичной точки L на окружности .

Положение точки L напрямую влияет на касательную в этой точке, и может возникнуть такая ситуация, когда прямая n не пересекает отрезки AB или AC. В таком случае точка пересечения касательной и отрезка не появляется на чертеже, и все последующие операции над данной точкой так же не будут показаны на чертеже. Таким образом, чертежи, имеющие расхождение с условием задачи, моментальным образом отбрасываются .

Строим окружности b и c и их точку пересечения .

5 .

Для этого нам необходим инструмент «Окружность по центру и

–  –  –

На чертеже мы показали точное положение точки X, а так же можем увидеть, что при перетаскивании точек A, B, L при помощи инструмента «Перемещать » точка X всегда будет находиться на всех 3 окружностях .

После анализа проведенных построений необходимо обязательно требовать выполнения чертежа на бумаге и строгого математического доказательства .

Выполненное изображение можно использовать и в процессе решения .

Задача 3 .

Внутри равнобедренного треугольника ABC (AB = BC) выбрана точка M таким образом, что AMC = 2B. На отрезке AM нашлась такая точка K, что BKM = B. Докажите, что BK = KM + MC .

Решение:

1. Продлим отрезок CM до пересечения с BK в точке L .

2. По теореме о внешнем угле треугольника KLM = AMC

– BKM = B, откуда MK = ML .

3. LCB = KLM – LBC = B

– KBC = ABK, BAK = BKM – ABK = KLM – BCL = LBC

4. Треугольники ABK и BCL равны

5. BK = CL = CM + ML = CM + MK .

Задача сложна в построении и понимание того, что положение точки M точно не определено. Как правило, дети хотят ее поставить на высоте треугольника ABC, проведенного из B. При доказательстве необходимы дополнительные построения, алгоритм выполнения которых не достаточно очевиден. Выполнение дополнительных построений в программе не занимает много времени. Построенную линию можно скрыть в любой момент и учитель может обращать внимание детей на конкретный элемент чертежа .

В данной задаче необходимым элементом будет служить треугольник MKL, на котором можно попросить детей отметить величины углов, и обратить их внимание на то что полученный треугольник равнобедренный. Рассмотрим поэтапное построение этого чертежа .

Строим равнобедренный треугольник .

1 .

Строим произвольные точки A и B, используя инструмент на

–  –  –

инструмент «Отрезок » .

Полученный треугольник ABC – равнобедренный. Это следует из того что отрезки BA и BC являются радиусами окружности (B, BA). Так же это мы можем проверить, используя

–  –  –

убедиться в этом, используем инструмент «Угол ». Отметим точки A B C – получим градусную меру угла ABC. Аналогично, найдем градусную меру угла AMC. В динамической среде GeoGebra заметим, что при перетаскивании точек A, B, C и M всегда будет сохраняться равенство: AMC = 2ABC .

Строим точку K так, чтобы BKM = ABC .

3 .

–  –  –

понадобится инструмент «Окружность по центру и точке », выделив центр окружности и точку на ней, получим эту окружность .

Строим точку пересечения окружности (I, IM) и отрезка MB .

–  –  –

мы можем с легкостью проверить используя инструмент «Угол », отметив BKM. Заметим, что он равен ABC. Так же при передвижении динамичных точек на чертеже можем увидеть, что все соотношения углов остаются верными. После анализа проведенных построений необходимо обязательно требовать выполнения чертежа на бумаге и строгого математического доказательства .

Заключение Зачастую, решение олимпиадных задач по геометрии занимает очень много времени, а поэтому требуют высокой концентрации внимания, знания теории, а так же нестандартного и, как правило, неожиданного подхода при их разборе. Не каждый школьник может с легкостью взяться за олимпиадную задачу по геометрии .

Системы динамической геометрии могут помочь среднестатистическому ученику разобраться в многочисленных подходах решения таких задач. DGS это программное обеспечение, созданное для поддержки образовательной и исследовательской деятельности в области геометрии, позволяющее создавать виртуальные динамические модели геометрических объектов (динамические чертежи), т.е. выполнять построения геометрического объекта на компьютере таким образом, что при изменении одного из элементов чертежа остальные также изменяются, сохраняя заданные алгоритмом построения соотношения неизменными .

Системы динамической геометрии позволяют осуществлять доказательства олимпиадных задач с опорой на субъектный опыт учащихся, связанный с обоснованием и критической оценкой бытовых суждений. В содержание этого опыта у учащихся, приступающих к решению геометрических олимпиадных задач, включены различные критерии убедительности: критерий практики, критерий наглядности, критерий логической сводимости к истинным утверждениям .

DGS позволяют проверять высказанные геометрические утверждения с использованием метода контрольного компьютерного эксперимента, апеллирующего с этими, наиболее значимыми для учащихся, критериями убедительности. Кроме того эти системы позволяют проводить конструктивные доказательства геометрических утверждений, а также создавать компьютерные визуализации доказательств. DGS обладают богатыми возможностями и для поддержки исследовательской деятельности учащихся: проведения разведочных и модифицирующих компьютерных экспериментов разного типа .

Наиболее богатыми возможностями поддержки названных видов компьютерных экспериментов, как показал проведенный нами сравнительный анализ различных DGS, обладает GeoGebra. Кроме того, данный программный продукт является свободно распространяемым, кроссплатформенным, имеет открытый программный код и переведен более, чем на 50 языков, включая и русский язык .

В процессе работы с олимпиадными заданиями мы убедились, что GeoGebra удобна в использовании. Прежде всего, это заключается в точности построения чертежа. Практичность данной программы в том, что в полученном конечном чертеже мы можем менять соотношения длин отрезков, местоположения точек, градусные меры углов и т.д., чтобы рассмотреть задачу в обобщенном случае. Стоит отметить что, динамика полученных чертежей зачастую позволяет раскрыть суть решения подобных задач. Поэтому GeoGebra помогает активно развивать нестандартное мышление, а так же умственные и логические способности школьников при обучении решению олимпиадных задач по геометрии .

Все вышеизложенное позволяет сделать вывод о том, что цель исследования достигнута, поставленные задачи выполнены. Работа имеет практическую значимость и может быть использована учителями математики в учебном процессе .

Список литературы Агаханов Н. Х. Математика. Районные олимпиады. 6-11 классы. М .

1 .

: Просвещение, 2010. 192с .

Агаханов Н. Х., Подлипский О. К. Математика. Всероссийские 2 .

олимпиады. Вып. 2. М. : Просвещение, 2010. 159с .

Агаханов Н. Х., Кожевников П. А., Терешин Д.А. Математика .

3 .

Международные олимпиады. М. : Просвещение, 2010. 239с .

Балаян Э. Н. 1001 олимпиадная и занимательная задачи по 4 .

математике. 3-е изд. Ростов на/Д : Феникс, 2008. 364с .

Васильев Н. Б., Савин А. П., Егоров А. А. Избранные олимпиадные 5 .

задачи. Математика. М. : Бюро Квантум, 2007. 160с .

Канель-Белов А. Я., Ковальджи А. К. Как решают нестандартные 6 .

задачи. 4-е изд., стереотип. М. : МЦНМО, 2008. 96с .

Кноп К. А. Взвешивания и алгоритмы: от головоломок к задачам .

7 .

М. : МЦНМО, 2011. 104с .

Математика. Областные олимпиады. 8-11 классы / Н. Х. Агаханов, 8 .

[и др.] ; под ред. Н. Х. Агаханова – М. : Просвещение, 2010. 324 .

Олимпиада школьников «Ломоносов». Математика. К 300-летию М .

9 .

В. Ломоносова. А. В. Бегунц [и др.] ; под ред. А. В. Бегунца. 2005-2010. М. :

МЦНМО, 2016. 176 с .

Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. – М. : МЦНМО, 2006. 640с .

10 .

Севрюков П. Ф. Подготовка к решению олимпиадных задач по 11 .

математике. Изд. 2-е. М. : Илекса 2009. 112с .

Фарков А. В. Математические олимпиадные работы. 5-11 классы .

12 .

СПб. : Питер, 2010. 192с .

Шеховцев В. А. Олимпиадные задания по математике. 9-11 классы:

13 .

решение олимпиадных задач повышенной сложности. – Волгоград: Учитель,

2009. 99с .

Интернет ресурсы:

Международная онлайн-олимпиада Фоксфорда .

14. URL:

http://www.foxford.ru. Заглавие с экрана (дата обращения: 2.02.2017) .

Физико-математическая олимпиада Физтех 2017/2018 уч. года. URL:

15 .

https://olymp.mipt.ru. Заглавие с экрана (дата обращения 2.02.2017) .

Олимпиада «Покори Воробьевы горы!» URL: https://pvg.mk.ru .

16 .

Заглавие с экрана (дата обращения 9.02.2017) .

Всесибирская открытая олимпиада школьников по математике .

17 .

URL: http://sesc.nsu.ru/vsesib/math.html. Заглавие с экрана (дата обращения 9.02.2017) .

Интернет-проект «Задачи» URL: http://www.problems.ru. Заглавие с 18.




Похожие работы:

«ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Занятия по предмету "Фортепиано" в детских музыкальных школах проводятся в соответствии с действующими учебными планами . В основном обучение проходит по...»

«Министерство образования, науки и молодежной политики Краснодарского края Государственное бюджетное образовательное учреждение дополнительного профессионального образования "Институт развития образования" Краснодарского края (ГБОУ ИРО Краснодарского края) ПРИКАЗ От 13.04.2018 № 118 г. Краснодар О проведен...»

«Муниципальное казенное учреждение "Управление образования администрации города Снежинска" Муниципальное бюджетное образовательное учреждение "Муниципальный методический центр" Материалы городского конкурса лучших...»

«Министерство образования Красноярского края Красноярский государственный педагогический университет им. В.П. Астафьева Краевая инновационная площадка КГПУ им. В.П. Астафьева Центр внедрения ФГОС ОВЗ Введение ФГОС начального общего образования обучающихся с ограни...»

«© "Социальный навигатор" МИА "Россия сегодня" Методика Рейтинга регионов России по организации детского отдыха Организация отдыха и оздоровления детей – неотъемлемая часть социальной политики государства. Одним из важных звеньев, которое согласно...»

«ШЕЛИХОВА Лариса Николаевна Комбинированное применение химиотерапии и моноклональных антител к антигену В-клеток СВ20 (Ритуксимаба) в терапии В-клеточных неходжкинских лимфом у детей и подростков 14.01.21-гематологая и переливание крови 14.01.08-педиатрия Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандида...»

«В. М. Букатов О таблице социо-игрового стиля обучения или драмогерменевтической бабочке Социо-игровая режиссура урока базируется на театральных, игровых, организационных и герменевтических премудростях педагогической деятельност...»

«1 МИНИСТЕРСТВО ТРУДА И СОЦИАЛЬНОЙ ЗАЩИТЫ НАСЕЛЕНИЯ СТАВРОПОЛЬСКОГО КРАЯ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СОЦИАЛЬНОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ "ЦЕНТР ПСИХОЛОГО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЙ ПОМОЩИ НАСЕЛЕНИЮ "АЛЬГИС" ПРОФИЛАКТИКА КИБЕРМОББИНГА И КИБЕРБУЛЛИНГА В СРЕДЕ НЕСОВЕРШЕННОЛЕТНИХ Методическое...»







 
2019 www.librus.dobrota.biz - «Бесплатная электронная библиотека - собрание публикаций»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.